Cómo probar que$b_{2008}\neq 0$

Question

Permita que el polinomio$f$ se defina como$$f(x)=a_{m}x^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}, \qquad a_{i}\in \Bbb Z \ (i=0,1,2,\cdots,m), \ a_{i}\neq 0.$ $ Defina la secuencia$\{b_{n}\}$ as$$b_{1}=0,b_{n+1}=f(b_{n}).$ $ Muestre que$$b_{2008}\neq 0.$ $

Mi intento: vamos$x_{i},i=1,2,\dots,m$ ser las raíces complejas del polinomio$f(x)$, entonces$$f(x)=a_{m}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots(x-x_{m})$ $

Tal vez esta es la pregunta olímpica examen de matemáticas, este es un problema de mi frend me preguntó.

Answer 1

Sabemos que para enteros $a$ $b$ y un polinomio $P$ que $a-b|P(a)-P(b)$. Decir que $$b_i=P^i(0)=\underbrace{P(P(\dots P(0)\dots ))}_{P \text{ applied $i$ times}}$$ y $b_1=0$. Ahora, sabemos que $$ b_1-b_0|P(b_1)-P(b_0)=b_2-b_1\\ b_{n+1}-b_{n}|P(b_{n+1})-P(b_{n})=b_{n+2}-b_{n+1} $$ Así, vemos que $$ b_1-b_0|b_2-b_1|b_3-b_2|\dots |b_{2008}-b_{2007} $$ Debido a $a_0\neq 0$, sabemos que $P(0)\neq 0$, lo $P(0)-0=b_1-b_0\neq 0$. Ahora sabemos que todas las diferencias son $0$ o un múltiplo de la de $P(0)=a_0$. Ahora, supongamos $b_{2007}=0$. (Yo accidentalmente asumido $b_0=0$, por lo que tenemos que tomar en $2007$ en lugar de ello, lo cual es extraño (y resulta que es una condición suficiente).) Entonces, tenemos $b_{2008}=P(b_{2007})=P(0)=a_0$. Por lo tanto: $$ a_0=P(0)-0=b_1-b_0|b_2-b_2|\dots|b_{2008}-b_{2007}=P(0)-0=a_0 $$ Ahora estamos a la conclusión de que los valores absolutos de todas las diferencias de $|b_{n+1}-b_n|$ debe ser igual a $P(0)=a_0$. Ahora llegamos $b_{n+1}=b_n+\pm a_0$. De esto se sigue que el$2a_0|b_{2n}$$2a_0|b_{2n+1}+a_0$. Sabemos que $2007$ es impar, por lo $2a_0|b_{2007}+a_0$. Por lo tanto, $b_{2007}$ puede no ser $0$.

Este es un típico Olimpíadas de Matemáticas pregunta, como he resolver algunos muy similar ejercicios durante mi entrenamiento de la OMI.

Answer 2

Observe que$f(p a_0) = a_0 ( p(\text{integer}) + 1)$ y en particular$b_j = p_j a_0$ para algunos enteros$p_j$.

Ahora $p_{j+1} = p_j(a_m p_j^{m-1} a_0 ^{m-1} + \cdots + a_1) + 1$.

Trabajo modulo 2. A continuación, este mapas$0 \mapsto 1$. También,$1 \mapsto 0 \mapsto 1$ o$1 \mapsto 1 \mapsto 1$ bajo dos aplicaciones. Como tal,$p_1 \equiv 0 \implies p_2 \equiv 1 \implies p_{2k} \equiv 1$ para todos$k$. En particular, $b_{2k} \neq 0$.