En el mapa$E: O\subset TM \to M \times M$ by$E(v)=(\pi(v), \exp(v) )$

Question

Deje $\exp$ ser el mapa exponencial en el colector de Riemann M y $O$ es de su dominio en $TM$. Considerar el mapa de $E: O\subset TM \to M \times M$ $E(v)=(\pi(v), \exp(v) )$ donde $\pi$ es la canónica mapa de $TM \to M$. Es fácil mostrar que $dE: T_{0_p}(TM) \to T_{(p,p)}(M\times M)$ es nonsingular y por lo tanto el inverso mapa teorema da locales diffeomorphisms a través de $E$ de los barrios de $0_p \in TM$ en los barrios de $(p,p)$ por cada $p\in M$. Mi pregunta es:

Cómo mostrar que $E$ puede ser extendida a una diffeomorphism de un barrio de la sección cero de $TM$ al barrio de la diagonal en $M\times M$ ? (cf. el último párrafo de la Página 131 de Geometría de Riemann (GTM171), escrito por Peter Petersen)

El libro tiene un esbozo de la prueba, pero no puedo comprender en su totalidad. La principal dificultad puede ser la manera de garantizar este diffeomorphism es inyectiva, por lo tanto no puedo simplemente ajuste los locales diffeomorphisms juntos para dar el deseado diffeomorphism.

Por favor ayuda, gracias!

Answer 1

Para cada una de las $x \in M$, vamos a $D_x \subseteq T_x M$ ser el juego más grande en el que $\exp_x$ puede ser definida como un diffeomorphism (su límite de $\partial D_x$ es el locus corte de $x$$T_x M$). Observe que $D = \bigcup \limits _{x \in M} D_x$ está contenido en $O$. En aras de la brevedad, voy a indicar la restricción $\exp \big| _D$ $\exp$ nuevo. Observe que $\exp_x D_x$ es un abierto subconjunto de $M$, diffeomorphic a $D_x$ por la construcción (su complementario es el locus corte de $x$$M$, un subconjunto cerrado de medida $0$). Claramente, entonces, $\exp D$ es un tubular abierta de barrio de la diagonal en $M \times M$ (el cero de la sección de $TM$ ser transportados en la misma diagonal).

Observe que $\exp$ es inyectiva: si $\exp (u) = \exp (v)$ algunos $u, v \in D$, hay dos posibilidades:

• si $\pi (u) \ne \pi (v)$, claramente $\exp (u) = \exp (v)$;
• si $\pi (u) = \pi (v) = x$, e $\exp_x (u) = \exp_x (v)$, entonces a partir de la $\exp_x$ es un diffeomorphism en $D_x$ (por la construcción de $D_x$), se obtiene que el $u=v$.

Observe que $\exp : D \to \exp(D)$ también es trivialmente surjective; es, por lo tanto, bijective, y tiene una inversa $\exp ^{-1}$.

El mapa de $\exp : D \to \exp(D)$ es suave (esto está demostrado con hechos acerca de la dependencia de las Odas en sus condiciones iniciales). Desde $\textrm d (\exp)$ es invertible en el cero de la sección de $TM$, puede restringir el mismo a algunos abren $U_x \subseteq D_x$ $U = \bigcup \limits _{x \in M} U_x$ tal que $\exp \big| _U$ es localmente invertible, con un suave local inversa. Pero en $\exp (U)$ este local inversa debe coincidir localmente con $\exp^{-1} \big| _{\exp (U)}$ construido anteriormente, por lo $\exp^{-1} \big| _{\exp (U)}$ a continuación, debe ser suave (debido a la suavidad es una propiedad local). Esto implica que $(\exp \big| _U)^{-1} = \exp^{-1} \big| _{\exp (U)}$ es un buen inversa de a $\exp \big| _U$, lo $\exp \big| _U : U \to \exp(U)$ es un diffeomorphism como se desee.

De hecho, creo que el $U=D$ y que las restricciones en el párrafo anterior es meramente pedante, pero no me siento como tratando de demostrar esto (es demasiado técnico y minucioso y me falta la necesaria paciencia).

Answer 2

Si el mapa no se inyecta entonces$(\pi(v),\exp (v))=(\pi(w),\exp(w))$ para algunos$v\not=w$. Pero esto implica en particular que$\pi(v)=\pi(w)$, es decir, ambos vectores están sobre el mismo punto de$M$. Así, después de todo, se reduce a un problema local, a saber, que el mapa exponencial es un difeomorfismo local, que se desprende de un hecho general sobre las ecuaciones diferenciales ordinarias.