Cómo demostrar esta ecuación $A^2+B^2=C^2+D^2$

Question

definir:

avión $W:Ax+By+Cz+D=0$ y el hiperboloide de una hoja $U:x^2+y^2-z^2=1$ si $$W\bigcap U=l_{1},W\bigcap U=l_{2}$$

donde $l_{1},l_{2}$ sean dos líneas rectas

demostrar que : $$A^2+B^2=C^2+D^2$$

Mi intento: ya que $$\begin{cases} Ax+By+Cz+D=0\\ x^2+y^2-z^2=1 \end{cases}$$ entonces $$(Ax+By+D)^2=C^2(x^2+y^2-1)$$ entonces $$(A^2-C^2)x^2+(B^2-C^2)y^2+2ABxy+2BDy+2ADx+D^2+C^2=0$$

Seguir es idea del usuario44197 $$(A^2-C^2)x^2+(2ABy+2AD)x+(B^2-C^2)y^2+D^2+C^2=0$$ $$\Delta (y)=(2ABy+2AD)^2-4(A^2-C^2)[(B^2-C^2)y^2+D^2+C^2]$$ $$\Delta=4A^2B^2y^2+8A^2BDy+4A^2D^2-4(A^2B^2-A^2C^2-B^2C^2+C^4)y^2-4(A^2D^2+A^2C^2-C^2D^2-C^4)$$ así que $$\Delta(y)=4[C^2(A^2+B^2-C^2)y^2+2A^2BDy+C^2(C^2+D^2-A^2)]$$ entonces no puedo. ¡Muchas gracias!

Answer 1

Hay que aprovechar que la intersección es un par de rectas.

Mira la última ecuación como una cuadrática en $x$ , es decir, de la forma $a x^2+b x +c=0$ Su discriminante es $b^2-4ac$ viene dada por $$ \Delta(y) = 4\,{C}^{2}\,\left( {D}^{2}+2\,y\,B\,D-{y}^{2}\,{C}^{2}+{C}^{2}+{y}^{2}\,{B}^{2}+{y}^{2}\,{A}^{2}-{A}^{2}\right) $$ que es una cuadrática en $y$ . Ahora tomando su discriminante (como una cuadrática en $y$ ) da $$ \Delta = 64\,{C}^{4}\,\left( C-A\right) \,\left( C+A\right) \,\left( {D}^{2}+{C}^{2}-{B}^{2}-{A}^{2}\right) $$ Esto tiene que ser cero para que la intersección sea de líneas rectas. Regla $C=A$ y $C=-A$ y $C=0$ se obtiene la respuesta deseada.

Answer 2

He aquí una respuesta con un poco de sabor geométrico.

Claramente, el hiperboloide no contiene líneas paralelas a ninguno de los ejes de coordenadas; tampoco contiene puntos $(x,y,z)$ tal que $x^2 + y^2 < 1$ . En consecuencia, una línea incrustada $\ell$ debe pasar por un punto $P$ en el $xy$ -que, de hecho, debe estar en el círculo unitario; podemos escribir $P = (\cos\theta, \sin\theta, 0)$ para algunos $\theta$ . Además, la proyección de $\ell$ en el $xy$ -debe ser tangente al círculo unitario, por lo que su vector de dirección, $v$ tiene la forma $(\sin\theta,-\cos\theta,c)$ para algunos $c$ . Es decir, la línea tiene esta parametrización: $$\ell : (\cos\theta, \sin\theta, 0 ) + t (\sin\theta,-\cos\theta, c)$$ y tenemos $$0 = x^2 + y^2 - z^2 - 1 = (\cos\theta+t\sin\theta)^2+(\sin\theta-t\cos\theta)^2+(ct)^2-1 =t^2(c^2-1)$$ que debe ser válida para todos los $t$ para que $c=\pm 1$ .

Desde $P$ está en el avión: $$A \cos\theta + B \sin\theta + D = 0 \qquad \implies \qquad D = -\left(A \cos\theta+ B \sin\theta\right)$$ Desde $v \perp (A,B,C)$ : $$v\cdot(A,B,C) = A\sin\theta - B\cos\theta \pm C = 0 \qquad \implies \qquad C = \mp \left( A \sin\theta - B \cos\theta \right)$$

Por lo tanto, $$C^2 + D^2 = A^2 + B^2 \qquad (\star)$$

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Nota: Hemos demostrado que $(\star)$ es válida siempre que el plano se encuentre con el hiperboloide en un solo línea. Esto es coherente con el hecho de que $(\star)$ sólo elimina un solo grado de libertad en la ecuación del plano.