¿Cuándo falle la regla de L'Hopital?

Question

Este pensamiento saltó fuera de mí durante mi cálculo seminario de enseñanza.

Es bien conocido que la clásica de L'Hospital de la regla afirma que para el $\frac{0}{0}$ indeterminado caso, tenemos: $$ \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)} $$ donde la tarde se podría tomar cualquier valor como las $\infty$. Aquí suponemos que el lado derecho del límite existe.

Sin embargo, para aplicarlo a menudo uno tiene que tomar la derivada de $f'(x)$$A$, y en principio se supone que por varias ocasiones la aplicación de esta regla se puede resolver el problema por el enchufe en el valor de la función derivada en $A$. Mi pregunta es, ¿qué pasa si el estudiante se pregunte si es posible para $\lim_{x\rightarrow A} f(x),\lim_{x\rightarrow A} f'(x)\cdots \lim^{n}_{x\rightarrow A}f^{n}(x)$ ser todos cero para cualquier $n$, por lo que la regla 'falla'. ¿Cómo debemos responder a la pregunta correctamente?

Considere, por ejemplo, el bien conocido no-analíticos de función suave: $$f(x)= \begin{cases} e^{-1/x}& x> 0\\ 0& x\le 0 \end{casos} $$ Es un ejercicio trivial comprobar que $f^{n}(0)=0$ cualquier $n\in \mathbb{N}$. Ahora usando la regla de L'Hospital de computamos (como si fuéramos a un bajo nivel de estudiante) $$ 1=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x)}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{f'(x)}{f'(x)}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{f"(x)}{f"(x)}\cdots =\frac{0}{0}=? $$ a medida que la cadena no se detiene si el estudiante aplica la regla fiel y ciegamente. Este es un ejemplo tonto, pero, en general, no analítico funciones pienso que este tipo de cosa que podría suceder. Y no debe ser más de no-funciones de análisis de funciones de análisis. Es allí una manera de resolver este en introductorios de cálculo, de manera que el estudiante sepa qué hacer, sin introducir conceptos confusos' como $\epsilon-\delta$ idioma, el valor medio de Cauchy teorema, serie de Taylor, y infinitesimals?

Answer 1

Incluso para funciones de análisis, este tipo de cosas pueden suceder.

Considere la posibilidad de $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$.

Ciegamente la aplicación de la Regla de L'Hospital repite: $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} = \lim_{x \to \infty}\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}} = \lim_{x \to \infty}\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} = \cdots$.

Pero si dividimos el numerador y el denominador por $e^x$ obtenemos: $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} = \lim_{x \to \infty}\dfrac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}} = \dfrac{1+0}{1+0} = 1$.

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También, considere la posibilidad de $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}x \ln x = \lim_{x \to 0^+}\dfrac{\ln x}{1/x}$.

Ciegamente la aplicación de la Regla de L'Hospital repite: $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}x \ln x = \lim_{x \to 0^+}\dfrac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+}\dfrac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+}\dfrac{-1/x^2}{2/x^3} = \lim_{x \to 0^+}\dfrac{2/x^3}{-6/x^4} = \cdots$.

Pero nos detenemos después de aplicar la Regla de L'Hospital una vez y para simplificar las cosas, obtenemos: $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}x \ln x = \lim_{x \to 0^+}\dfrac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+}\dfrac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} -x = 0$.

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En ambos de estos problemas, la solución fue utilizar el álgebra elemental en lugar de sólo la Regla de L'Hospital. Las técnicas que se enseñan en introductorios de cálculo no va a resolver todo el problema de la limitación en el mundo, pero van a resolver los problemas encontrados en introductorios de cálculo. Lo importante para los estudiantes es conocer muchas técnicas y aprender a descubrir cuales va a trabajar para un problema dado. Muchos estudiantes aprenden de L'Hospital de la Regla y, a continuación, se olvida de cómo usar cada una de las otras herramientas. Esta es la razón por la que después de la enseñanza de L'Hospital de la Norma, debe lanzar en un par de ejemplos en los que la Regla de L'Hospital falla. De esta manera, piensan de L'Hospital de la Regla como otra herramienta en lugar de la magia.

Answer 2

A priori l'Hospital de la regla no está destinado a ser una magia regla para resolver límites ; usted puede escribir todo límite en el universo como un cociente de dos funciones, y si estas dos funciones se realizan a ser infinitamente diferenciable-no-funciones analíticas como la suya, a continuación, aplicar la regla de l'Hospital de no ser mucho de usar.

En la introducción del cálculo de nivel, lo que es más importante para los estudiantes no es para aprender todas esas reglas por el corazón y los arroje en papel (que es útil para obtener los grados, pero completamente inútil fuera del aula para la mayoría de ellos), pero en lugar de usar sus cerebros y encontrar una solución. No creo que la escritura $$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{-\frac 1x}}{e^{-\frac 1{x^2}}} $$ por escritura como $e^{\frac 1{x^2} - \frac 1x}$... bueno tuve un comentario acerca de esto, pero es una especie de la que salió mal cuando he encontrado el truco.

Y sí, siempre habrá problemas con tales funciones ; podría ser un buen ejercicio para venir para arriba con funciones cuyo límite puede existir sino a ser difícil de calcular.

Espero que ayude,