Cierre de$\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ en la métrica de British Rail

Question

Me pregunto cuál es el cierre de$\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ en$(\mathbb{R}^{2},d)$ donde$d$ es la métrica de British Rail:$$ d(x,y) = \left\{ \begin{array}{lr} ||x-y|| & \text{if} \; \; x,y,0 \; \; \text{are collinear,}\\ || x || + ||y||& \;\;\;\; \text{otherwise.} \end{array} \right. $ $

En este momento estoy pensando en establecer$$\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:\exists q\in\mathbb{Q} \quad qx=y\lor x=0\}$ $ porque creo que es un conjunto de todos los puntos que se encuentran en las líneas que pasan a través de$(0,0)$ con pendiente racional. ¿Es la respuesta correcta a mi pregunta?

Answer 1

Ya que esto parece una tarea, sólo voy a ofrecer algunos consejos.

Dados dos puntos $p, q$ $R^2$ he de decir que el par $(p,q)$ tipo I si $p, q, 0$ son colineales y tipo II de otra manera. Dado cualquier punto de $p\in R^2$ y una secuencia $(q_n)$ $R^2$ he de decir que la secuencia de $(q_n)$ es de tipo I si todos los pares de $(p,q_n)$ son de tipo I. del mismo modo, para el tipo II.

Ahora, fix $p$. Cualquier secuencia $q_n$ divisiones como (en la mayoría) de las dos infinito subsecuencias, cada subsequence tiene tipo I o tipo II. Suponiendo que $(q_n)$ es de tipo II, ¿qué se puede decir acerca de $$ \lim \inf_{n\to\infty} d(p, q_n) ? $$ Por lo que los puntos de $p$ hay una secuencia $(q_n)$ de tipo I consiste en su totalidad de puntos en ${\mathbb Q}^2$?

Una vez que haya respondido a estas dos preguntas, usted obtendrá una descripción de la clausura de la ${\mathbb Q}^2$ (con respecto a la métrica de $d$) como de la unión de ciertas líneas en $R^2$.

Véase también el presente, para Brian Scott respuesta que será de ayuda.