¿Cuál es la relación entre los números complejos y los vectores?
He leído en algunos lugares "un número complejo un vector bidimensional".
Se puede observar fácilmente que $i \cdot i=-1$ en la multiplicación compleja como el producto cruzado de los vectores.
¿Es el vector sólo la generalización del número complejo a n dimensiones?
¿Hay alguna diferencia fundamental entre esos dos?
El conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$ es como el conjunto de vectores reales bidimensionales $\mathbb{R}^2$ en el sentido de que tienes un mapeo uno a uno de uno a otro, excepto que tiene reglas especiales para la adición y la multiplicación, convirtiéndolo en un campo .
La generalización a dimensiones superiores a 2 no se cumple, salvo de alguna manera para el caso de la cuaterniones .
La suma es la misma pero la multiplicación es diferente. Una forma de ver la multiplicación compleja es que es como una rotación en $\mathbb{R}^2$ .
Hay mucho terreno que cubrir aquí, así que daré una referencia. Un libro muy bonito que dedica mucho tiempo a la explicación detallada y a la comparación de ambos es el de Needham " Análisis visual de complejos ". Es muy difícil igualar las explicaciones de allí en lucidez, pedagogía e intuición geométrica. Es sin duda una de las mejores prosas matemáticas que he leído.
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