Primero de todo, estoy muy cómodo con el producto tensor de espacios vectoriales. También estoy muy familiarizado con el conocido generalizaciones, en particular, a la teoría de monoidal categorías. He ganado bastante intuición para tensor de productos y puede trabajar con ellos. Por lo tanto, mi pregunta no es acerca de la definición del tensor de productos, ni sobre sus propiedades. Es más bien acerca de las imágenes mentales. Mi intuición para tensor de productos realmente nunca fue geométricas. Bueno, excepto por el producto tensor de álgebras conmutativas, que se corresponde con el producto de fibra de la correspondiente afín esquemas. Pero vamos a pegarse a la real, espacios vectoriales aquí, para el que tengo cierta intuición geométrica, por ejemplo, desde la clásica geometría analítica.
El producto directo de dos (o más) espacios vectoriales es bastante fácil de imaginar: Hay dos (o más) "instrucciones" o "dimensiones" en la que nos "insertar" de los vectores individuales de los espacios vectoriales. Por ejemplo, el producto directo de una recta con un plano es un espacio tridimensional.
El álgebra exterior de un espacio vectorial se compone de "cuchillas", como muy bien se explica en el artículo de la Wikipedia.
Ahora ¿qué pasa con el producto tensor de dos finito-dimensional real de espacios vectoriales $V,W$? De curso $V \otimes W$ es un producto directo de $\dim(V)$ copias de $W$, pero esta descripción no es intrínseca, y también realmente no incorporar la simetría $V \otimes W \cong W \otimes V$. ¿Cómo podemos describir a $V \otimes W$ geométricamente en términos de$V$$W$? Esta descripción debe ser intrínseca y simétrica.
Tenga en cuenta que SE/115630 básicamente le preguntó lo mismo, pero no recibieron ninguna respuesta real. La respuesta dada a la SE/309838 se describe donde el tensor de productos se utilizan en la geometría diferencial de nociones más abstractas como el tensor de campos y tensor de paquetes, pero esto no contesta la pregunta. (Incluso si mi pregunta se cierra como un duplicado, espero que el resto de las cuestiones recibir más atención y respuestas.)
Más en general, me gustaría pedir una imagen geométrica del producto tensor de dos vectores bultos en buen espacios topológicos. Por ejemplo, tensoring con una línea de paquete es algún tipo de deformación. Pero esto es todavía algún tipo de vaga. Por ejemplo, considere la cinta de Moebius en el círculo de $S^1$, y tire de él para el torus $S^1 \times S^1$ a lo largo de la primera proyección. Hacer lo mismo con la segunda proyección y, a continuación, tensor de ambos. Tenemos una línea de bulto en el toro, bien, pero ¿cómo se ve como geométricamente?
Tal vez la siguiente pregunta relacionada es más fácil de responder: Supongamos que tenemos una comprensión geométrica de dos lineal mapas $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, $g : \mathbb{R}^{n'} \to \mathbb{R}^{m'}$. Entonces, ¿cómo podemos imaginar su producto tensor $f \otimes g : \mathbb{R}^n \otimes \mathbb{R}^{n'} \to \mathbb{R}^m \otimes \mathbb{R}^{m'}$ o el correspondiente lineal mapa de $\mathbb{R}^{n n'} \to \mathbb{R}^{m m'}$ geométricamente? Esto está conectado a la pregunta acerca de vector de paquetes a través de sus cocycle descripción.
