Espacio nulo para$AA^{T}$ es el mismo que Espacio nulo para$A^{T}$

Question

$A$ Es una matriz$n\times m$ y$AA^{T}$ es una matriz real simétrica. Además, tenemos:$\operatorname{rank}(AA^{T})=r\stackrel{?}{=}\operatorname{rank}(A)$. Sea$Q= \begin{Bmatrix} q_1,...,q_{n-r} \end{Bmatrix}$ una base para el espacio nulo de$AA^{T}$. Es decir$AA^{T}q_i=0$, muestra que$A^{T}q_i=0$. Supongo que una prueba puede ser que el espacio nulo para$A^{T}$ es un subespacio para el espacio nulo para$AA^{T}$, entonces la pregunta sería ¿por qué$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(AA^{T})$?

Answer 1

Sea$q_i$ un vector nulo de$A A^\top$, es decir$ A A^\top q_i =0 $, entonces$ 0 = q_i^\top A A^\top q_i = \vert\vert A^\top q_i \vert\vert_2$, y por lo tanto$q_i$ es también un vector nulo de$A^\top$. Así,$\mathrm{rank}(A A^\top) = \mathrm{rank}(A^\top) = \mathrm{rank}(A)$.

Answer 2

He encontrado esta prueba en la Web. Me parece que es fácil de leer, y no he encontrado nada más claro en las aguas.

Queremos demostrar que $null(A^TA) \subset null(A)$ Tome $x\in R^n$ tal que $A^T Ax=0$. Entonces, como $x$ es ortogonal a cada vector fila de $A^T A$, y desde $A^T A$ es simétrica, entonces x es ortogonal a todos los vectores columna de a $A^TA$.

Así, $x^T A^T Ax=0$ $\implies$ $(Ax)^T Ax=0$. Esto implica $Ax.Ax=0$$Ax=0$. Lo cual termina la prueba.

http://mathsci.kaist.ac.kr/~schoi/sumlinsec7_5.pdf

Answer 3

Me gusta la respuesta anterior; Dice solamente lo que necesitaba. Sin embargo, he intentado lo siguiente. Se necesita un enfoque ligeramente diferente ya que no se basa en$||A^T q_i$$||$ properties.

Vamos$X = Null(A)$, entonces$\forall x \in X, Ax = 0$. Asumir que $Y = Null(A^TA)$. Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org Esto implica,

1. Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org o
2. $\forall y \in Y, A^TAy = 0$ Y$Ay= 0$

Si el caso (1) es verdad que estamos hechos:$A^TAy=0$ está en$Ay \not= 0$. Ahora

$y$ ($X$ Es distinto de cero)$A^TAy = 0 \implies y^TA^TA = 0^T \implies y^TA^T = 0^T$. Y esto es lo mismo que el caso (1). Así,$A$.

Ahora uno puede discutir sobre sus filas.