Desigualdad olympiad

Question

Para todos los números positivos$a,b,c$, pruebe que$$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{a^2-ac+c^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq 3 \frac{(ab+bc+ac)}{a+b+c}$ $

Tenga en cuenta que ambos lados son homogéneos de grado 1, así que creo que es seguro asumir$a+b+c=1$, pero esto no va muy lejos.

Cualquier idea / sugerencia? Gracias

Answer 1

Por desigualdad de Cauchy-Schwarz:$$\sum_{\text{cyc}}\dfrac{a^3}{b^2-bc+c^2}\left(\sum_{\text{cyc}}a\left(b^2-bc+c^2\right)\right)\ge \left(a^2+b^2+c^2\right)^2$ $ De hecho, puede probar la siguiente desigualdad más fuerte:$$\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sum_{\text{cyc}}a\left(b^2-bc+c^2\right)}\ge a+b+c\ge3\dfrac{ab+bc+ac}{a+b+c}$ $ Esto tiene:$$\iff \left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge (a+b+c)\sum_{\text{cyc}}a\left(b^2-bc+c^2\right)$ $$$\iff a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\ge ab\left(a^2+b^2\right)+bc\left(b^2+c^2\right)+ac\left(a^2+c^2\right)$ $ El último paso es verdadero por La desigualdad de Schur , donde$t=2$.