¿Se caracteriza una matriz simétrica por la diagonal de su resolvente?

Question

El resolvente de una matriz cuadrada $A$ se define por $R(s) = (A-sI)^{-1}$ para $s \notin \operatorname{spect}(A)$ .

Es conocer la diagonal de $R(s)$ para todos $s$ suficiente para recuperar $A$ cuando $A$ ¿es simétrico?

edit: un contraejemplo de dos matrices $A,B$ cuyo resolvente tiene la misma diagonal ha sido encontrado por Robert Israel. En el contraejemplo, $A = P B P^T$ para alguna matriz de permutación $P$ . Ahora la pregunta es, ¿es posible recuperar $A$ hasta permutaciones de filas y columnas?

Answer 1

No. Por ejemplo $$\left[ \begin {array}{cccc} 1&0&1&1\\ 0&0&1&1 \\ 1&1&0&0\\ 1&1&0&1\end {array} \right] \ \text{and}\ \left[ \begin {array}{cccc} 1&1&0&1\\ 1&0&1&0 \\ 0&1&0&1\\ 1&0&1&1\end {array} \right] $$ que tienen diagonal de $R(s)$ $$ (s^4 - 2 s^3 - 3 s^2 + 4 s - 1) \left[ \begin {array}{c} -{s}^{3}+{s}^{2}+2\,s-1\\ -{s}^{3}+2\,{s}^{2}+s-1\\ -{s}^{3}+2\,{s}^{2}+s-1 \\ -{s}^{3}+{s}^{2}+2\,s-1\end {array} \right] $$

EDIT: Para la segunda pregunta, intente $$ \left[ \begin {array}{cccc} 1&0&0&1\\ 0&1&1&0 \\ 0&1&1&0\\ 1&0&0&1\end {array} \right] \ \text{and}\ \left[ \begin {array}{cccc} 1&0&-\sin \left( t \right) &\cos \left( t \right) \\ 0&1&\cos \left( t \right) &\sin \left( t \right) \\ -\sin \left( t \right) &\cos \left( t \right) &1&0\\ \cos \left( t \right) &\sin \left( t \right) &0&1\end {array} \right] $$

Answer 2

Si $A$ y $B$ son las matrices de adyacencia de grafos fuertemente regulares no isomórficos en $n$ vértices con los mismos parámetros, entonces las entradas diagonales del resolvente son todas iguales a $1/n$ veces el polinomio característico común. Tales grafos en 16 vértices pueden construirse a partir de los dos $4\times4$ Plazas latinas. Como los grafos no son isomorfos, las dos matrices no son equivalentes en permutación.