¿Cómo encontrar el número de microestados atómicos para una configuración electrónica dada?

Question

Dada una configuración de electrones, sé que la siguiente fórmula se puede utilizar para determinar el número de microestados:

$$\text{# mircostates} = \frac{(\text{# electron positions})!}{((\text{# electrons})!(\text{# positions} - \text{# electrons})!)}$$

Así que para 2 electrones en un $\mathrm{p}$ orbital sería $6!/(2!4!) = 15$ o para dos electrones en un $\mathrm{d}$ orbital sería $10!/(2!8!) = 45$ .

Estoy un poco confundido sobre cómo aplicar esto para una situación en la que todos los electrones no están en el mismo $l$ nivel.

Para una configuración como un electrón en $\mathrm{s}$ y una en $\mathrm{d}$ el número de microestados sería el producto de la fórmula anterior para cada $l$ ¿nivel?

$$\frac{2!}{1!1!}\cdot \frac{10!}{1!9!} = 20$$

O para un electrón en $\mathrm{s}$ y una en $\mathrm{f}$ :

$$\frac{2!}{1!1!}\cdot \frac{14!}{1!13!} = 28$$

Supuse que funcionaría así porque la fórmula me recuerda a la multiplicidad, así que tendría sentido que fuera un producto. Pero también se me ocurrió que el 2 $l$ niveles podrían combinarse para la fórmula, por lo que para un $\mathrm{(s^1)(d^1)}$ configuración de electrones, el número de posiciones sería $$\frac{(10+2)!}{2!(10+2-2)!} = \frac{12!}{2!10!}= 66,$$ que debe ser más grande que lo que tenía antes.

¿Alguien puede aclarar cómo aplicar esta fórmula a un caso como éste?

Para aclarar, la especificación exacta en el problema era:

Imagina un $\mathrm{s^1\, f^1}$ sistema de electrones (es decir, 1 electrón s y 1 electrón f; sin electrones p o d). ¿Cuántos microestados totales existen para este sistema?

Creo que esto significa que el $\mathrm{s}$ y una $\mathrm{f}$ los electrones están confinados cada uno en su $l$ nivel, por lo que pensé que la multiplicidad de microestados sería el producto de la fórmula anterior para cada uno, pero no estoy seguro.

Answer 1

Realmente hay que calcular las cosas con exactitud, y con especial cuidado si los electrones están en el mismo orbital, por ejemplo $p^2$ cuando hay que comprobar el principio de Pauli. Es un poco tedioso pero puede ser muy rápido con un poco de práctica especialmente si los electrones están en diferentes orbitales.
Se empieza por calcular el espín, el orbital y el total de todos los momentos angulares. Cada electrón tiene un número cuántico de espín s \= 1/2 y el número cuántico magnético $m_s$ = +-1/2. Los orbitales tienen un momento angular de s=0, p=1, d=2, f=3 etc unidades.
El momento angular de giro total es la serie de valores
$S=|s1+s2|...|s1-s2| $
donde s1 y s2 =+1/2 son los números cuánticos de cada electrón. El momento angular total es
$L=|l1+l2|...|l1-l2| $
y el momento angular total
$J=|L+S|...|L-S| $
Cada una de ellas se denomina serie de Clebsch-Gordon. La forma de calcularlas consiste en calcular los valores máximos y mínimos y hacer que los valores intermedios estén separados por 1. Obsérvese que a veces sólo hay un valor y todos los valores son positivos. p. ej. J \=5/3, 3/2, 1/2 o J puede ser 0 o 3, etc. El símbolo del término tiene la forma $^{2S+1}L_J$ . El superprefijo es la multiplicidad de espín, para el momento angular de espín $S$ esto es $2S+1$ o en general $2X+1$ para el momento angular X .

En su pregunta $s^1f^1$ el giro total utilizando la serie anterior es S \= 0 y 1. La multiplicidad de espín es, por tanto, 1 y 3, términos de singletes y tripletes solamente. El momento angular orbital total L \= 3 ya que el s orbital tiene momento angular cero. Por lo tanto, los términos hasta ahora son
$^1F$ y $^3F$
El número de microestados (multiplicidad) en cada término es $(2S+1)(2L+1)$ . Esto es 7 para el $^1F$ y 3,7=21 para el $^3F$ haciendo 28 en total. Estos estados también son degenerados en energía. Debes calcular que $s^1d^1$ tiene 20 microestados.

El momento angular total J serie asociada a S \=1 es $J=|3+1|.... |3-1|$ o 4, 3 y 2 y con S \=0 , J \=3. Por lo tanto, sólo los estados tripletes tienen J \= 4 y 2 y tanto el singlete como el triplete J \=3. Los símbolos de los términos para los niveles son
$^1F_3$ , $^3F_4$ , $^3F_3$ , $^3F_2$
La multiplicidad total de la J valores es es 7+9+7+5 = 28 lo mismo que de términos.

Cuando los electrones están en el mismo orbital, la única forma segura de calcular los términos es enumerar todos los números cuánticos individuales en una tabla, con columnas $m_{l1},m_{l2},m_{s1},m_{s2}$ , S y L y eliminar aquellos para los que el principio de Pauli elimina una fila. (Véase la tabla en Steinfeld 'Molecules & Radiation' capítulo 2 y Engel & Reid, 'Physical Chemistry' capítulo 22). En particular, hay que tener cuidado cuando dos filas tienen el mismo conjunto de números cuánticos pero en diferente orden; por ejemplo $m_{s1}$ =0, $m_{s2}$ =1 en una fila y $m_{s1}$ =1 y $m_{s2}$ =0 en otro pero el $m_l$ son los mismos, y viceversa. Al hacer esto, debería encontrar, por ejemplo, que $p^2$ tiene 15 términos, como $^1D$ , $^3P$ y $^1S$
Espero que esta respuesta algo larga le ayude a entender las cosas.

Answer 2

Su ecuación (1) es correcta. La suposición sobre la degeneración de los orbitales también. Pero te falta otro punto importante: los electrones son indistinguibles. No se sabe cuál está en cada lugar, sólo cuántos de ellos están en una determinada "ranura". Así que para tu pregunta, tienes 2 electrones en $(1+7)*2=16$ posiciones.

Además, como el sistema es $s^1f^1$ significa que los orbitales están cerca en energía, de lo contrario los electrones estarán emparejados. Como nota al margen, los microestados son determinantes de Slater y para 2 electrones obtendrás estados singulares y triples.

Answer 3

Parece que estás intentando comparar dos cosas distintas. En el primer caso estás mirando sólo los casos en los que un electrón está confinado en un orbital s y un electrón está combinado en orbitales d. En el otro caso estás considerando realmente muchos más estados, todas las formas posibles de colocar dos electrones en múltiples orbitales. Así que, por ejemplo, podrías ver ambos electrones en un orbital s o ambos electrones en orbitales d separados, lo cual no estabas considerando antes.