Es posible demostrar que estas dos colecciones generan la misma topología en $ \mathbb{X} $ ?

Question

Dejemos que $ \mathbb{Y} $ un espacio topológico cuya topología $ \tau $ se genera por una colección de subconjuntos $ \mathcal{B} \subset 2^\mathbb{Y} $ .

En otras palabras, la topología $ \tau $ de $ \mathbb {Y} $ es la topología más pequeña ("Más pequeña" en orden parcial en $ \subset $ subcolecciones en la clase de $ 2^\mathbb{Y} $ ) que contiene la colección $ \mathcal{B} $ de subconjuntos de $ \mathbb{Y}$ .

Dejemos que $ \{\varphi_i\}_{i \in \Lambda} $ una familia de funciones definidas en un conjunto $ \mathbb{X} $ y tomando valores en el espacio topológico $ \mathbb{Y}$ . Poner $ \mathcal{A}_{\tau} $ como la colección de todos los subconjuntos de $ \mathbb{X}$ en la forma $$ \{\varphi_i^{-1}(V): V \in \tau \mbox{ and } i\in \Lambda \}. $$ y $ \mathcal{A}_\mathcal{B}$ como $$ \{\varphi_i^{-1}(B): B\in\mathcal{B}\mbox{ and } i \in \Lambda \}. $$ Es posible demostrar que estas dos colecciones generan la misma topología en $ \mathbb{X} $ ? Si no es así, ¿qué supuestos son suficientes para que esto sea cierto? Estoy especialmente interesado en el caso de que $ \mathbb{Y} = \mathbb{R} $ .

Answer 1

Supongamos que $F\subseteq\Lambda$ es finito, $V_i\in\tau$ para cada $i\in F$ y $x\in\bigcap_{i\in F}\varphi_i^{-1}[V_i]$ . Para cada $i\in F$ dejar $y_i=\varphi_i(x)\in V_i$ ; hay un $B_i\in\mathcal{B}$ tal que $y_i\in B_i\subseteq V_i$ Así que $x\in\bigcap_{i\in F}\varphi_i^{-1}[B_i]\subseteq\bigcap_{i\in F}\varphi_i^{-1}[V_i]$ . Se deduce inmediatamente que $\mathcal{A}_\tau$ y $\mathcal{A}_{\mathcal{B}}$ generar la misma topología en $\Bbb X$ .

Answer 2

Si $(S,\mathcal T)$ es un espacio topológico, y $\mathcal C\subset 2^S$ entonces la topología generada por $\mathcal C$ se puede dar de la siguiente manera: añadir $S$ y $\emptyset$ a $\mathcal C$ para asumir WLOG que están en $\mathcal C$ y que $\mathcal F$ la colección de intersecciones finitas de elementos de $\mathcal C$ . Entonces la topología generada por $\mathcal C$ consiste en uniones arbitrarias de elementos de $\mathcal F$ .

Volvamos al problema. Como $\mathcal A_{\tau}$ contiene $\mathcal A_{\mathcal B}$ tenemos que demostrar que cada elemento de $\mathcal A_{\mathcal B}$ está en la topología generada por $\mathcal A_{\tau}$ . Sólo tenemos que mostrarlo para elementos de la forma $\varphi_i^{-1}(V)$ para $V\in\mathcal T$ y $i\in I$ . En efecto, si lo hemos hecho para estos elementos, podemos hacerlo para uniones arbitrarias de intersecciones finitas de tales elementos. Escriba $V:=\bigcup_{i\in J}\bigcap_{j\in F_i}B_j$ , donde $J\subset I$ es arbitraria y $F_i$ es finito, $B_j\in\mathcal B.$

Answer 3

Si $\mathcal{B}$ genera $\tau$ entonces para cada $V \in \tau$ hay $(B_{i,j})_{i \in I,1\leq j \leq n_i}$ , $B_{i,j} \in \mathcal{B}$ tal que $V = \bigcup_{i \in I} \bigcap_{j=1}^{n_i} B_{i,j}$ . Desde $\varphi^{-1}(\bigcup_{i \in I} \bigcap_{j=1}^{n_i} B_{i,j})$ = $\bigcup_{i \in I} \bigcap_{j=1}^{n_i} \varphi^{-1}(B_{i,j})$ todo conjunto abierto generado por $A_\tau$ también es generado por $A_\mathcal{B}$ . Lo contrario es obvio porque $\mathcal{B} \subset V$ .

$A_\tau$ btw se llama el topología inicial en $\mathbb{X}$ y es el más grueso (el más pequeño wrt $\subset$ ) en la topología de $\mathbb{X}$ que hace que todos los $\varphi_i$ continuos para una topología dada en $\mathbb{Y}$ .

Answer 4

(Sé que el OP dijo que no se tuviera en cuenta esta pregunta, pero descubrí algunas cosas buenas que me gustaría compartir en esta respuesta).

Anotaciones. Permítanme comenzar introduciendo una notación ligeramente diferente, escribiendo $D^\#$ en lugar de $\mathcal{A}_D$ : $$ D^\# = \{ V,f : V \in D : f^{-1}[V] \} $$ Léase como "el conjunto que, para cada $V$ y $f$ tal que $V \in D$ , contiene $f^{-1}[V]$ ". Aquí, y en el resto del post, dejamos que $f$ se extienden implícitamente sobre $\{\varphi_i\}_{i \in \Lambda}$ .

Utilizamos $D^\cup$ y $D^\cap$ para el conjunto de todas las uniones arbitrarias y de intersecciones finitas de elementos de $D$ respectivamente: $$ \begin{align} & D^\cup = \left\{ \mathscr{F} : \mathscr{F} \subseteq D : \bigcup \mathscr{F} \right\} \\ & D^\cap = \left\{ F,G : F,G \in D : F \cap G \right\} \\ \end{align} $$ (Véase también otra respuesta mía .) Esto significa que podemos escribir "la topología generada por $B$ " como $B^{\cap\cup}$ .

Planteamiento del problema. Utilizando estas anotaciones, se nos pregunta si, para todo $B$ y $\tau$ con $\tau = B^{\cap\cup}$ tenemos $\tau^{\#\cap\cup} = B^{\#\cap\cup}$ o, de forma equivalente, si para todos los $B$ $$ (0) \;\;\; B^{\cap\cup\#\cap\cup} = B^{\#\cap\cup} $$ Prueba. Lo único que sabemos sobre $^\#$ , $^\cap$ y $^\cup$ son sus definiciones: éstas se aplican $f^{-1}[\cdot]$ , $\cap$ y $\cup$ muchas veces. Y mirando a los últimos operadores, sabemos que el orden de $f^{-1}[\cdot]$ y $\cap$ no importa, y lo mismo para $f^{-1}[\cdot]$ y $\cup$ . (No demostraré aquí esas propiedades de la distribución.) Por lo tanto, parece probable que para todos los $D$ $$ (1) \;\;\; D^{\cup\#} = D^{\#\cup} \\ (2) \;\;\; D^{\cap\#} = D^{\#\cap} \\ $$ Si fuéramos capaces de probar esto, entonces $(0)$ se deduce directamente de un simple cálculo: $$ \begin{align} & B^{\cap\cup\#\cap\cup} \\ = & \;\;\;\;\;\text{"using $(1)$ with $D := B^\cap$"} \\ & B^{\cap\#\cup\cap\cup} \\ = & \;\;\;\;\;\text{"using $(2)$ with $D := B$"} \\ & B^{\#\cap\cup\cap\cup} \\ = & \;\;\;\;\;\text{"$^{\cap\cup}$ is idempotent"} \\ & B^{\#\cap\cup} \\ \end{align} $$ (No voy a demostrar aquí que $^{\cap\cup}$ es idempotente).

Resulta que peut probar $(1)$ de la siguiente manera: $$ \begin{align} & D^{\cup\#} \\ = & \;\;\;\;\;\text{"definition of $^\#$"} \\ & \{ V,f : V \in D^\cup : f^{-1}[V] \} \\ = & \;\;\;\;\;\text{"write $V$ as a union using the definition of $^\cup$"} \\ & \{ \mathscr{F},f : \mathscr{F} \subseteq D : f^{-1}\left[\bigcup \mathscr{F} \right] \} \\ = & \;\;\;\;\;\text{"distribution property of $^{-1}$"} \\ & \{ \mathscr{F},f : \mathscr{F} \subseteq D : \bigcup \{ V : V \in \mathscr{F} : f^{-1}[V]\} \} \\ = & \;\;\;\;\;\text{"rewrite using the definition of $^{\cup}$"} \\ & \{ V,f : V \in D : f^{-1}[V] \}^{\cup} \\ = & \;\;\;\;\;\text{"definition of $^\#$"} \\ & D^{\#\cup} \\ \end{align} $$ La prueba para $(2)$ es muy similar.

Observaciones. Como primera observación, me gusta bastante cómo el $^\#$ notación funciona, e interactúa con el $^\cap$ y $^\cup$ las anotaciones que había inventado antes: $(0)$ pone de manifiesto la estructura del problema de una manera mucho más clara que escribiendo $(\mathcal{A}_{B^{\cap\cup}})^{\cap\cup} = (\mathcal{A}_B)^{\cap\cup}$ : después de explicitar esto último, me di cuenta de repente de que $\mathcal{A}$ es esencialmente un operador unario.

Además, me gusta cómo hemos podido evitar $\subseteq$ y en su lugar tener una prueba de igualdad. Esto no es lo que esperaba cuando empecé a trabajar en esta prueba.

Por último, no me gusta la manipulación de la comprensión del conjunto: los dos pasos anteriores "utilizando la definición de $^\cup$ " no son realmente fáciles de seguir. Todavía no veo cómo solucionarlo.