Dada una variedad bidimensional de Riemann con la propiedad de que la relación entre la circunferencia y el diámetro es la misma para todas las circunferencias. ¿Qué se puede decir de él? ¿Tiene que ser el plano euclidiano con la métrica habitual?
Respuestas
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chaiwalla
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Acordemos que un "círculo de centro $p$ y el radio $r > 0$ "se refiere a "la imagen del círculo euclidiano de radio $r$ en el plano tangente a $p$ bajo el mapa exponencial", y que la métrica es de clase $C^{2}$ es decir, lo suficientemente suave como para que la curvatura gaussiana sea continua.
Si la circunferencia de un círculo de radio $r$ es $2\pi r$ simplemente para suficientemente pequeño círculos, la curvatura gaussiana es cero. (Esquema de la prueba: Si $K(p) \neq 0$ existe un círculo alrededor de $p$ dentro de la cual $K$ está acotado fuera de $0$ La Ecuación de Jacobi implica que la geosedicidad radial a través de $p$ no divergen como los rayos en el espacio euclidiano, por lo que el círculo tiene la circunferencia "equivocada").
Ahora entramos en el terreno de los detalles:
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Con la definición anterior de "círculos", la respuesta a la pregunta original es "no"; lo único que se puede deducir es que la superficie es plana (y quizás completa, según la intención de la pregunta).
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Si se requiere un "círculo" para ser un incrustado curva, entonces "sí": En cualquier superficie plana completa que no sea el plano euclidiano, un círculo de radio suficientemente grande se cruza a sí mismo.
Puede ser interesante observar que si $M$ es un cono con vértice $p$ (no de la clase $C^{2}$ en $p$ ), luego los círculos centrados en $p$ tienen una circunferencia proporcional a su radio, pero la constante de proporcionalidad es $\theta$ el ángulo de incidencia en el vértice (y $\theta$ puede ser un número real positivo arbitrario).
Narasimham
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Desde luego que no. Depende de la curvatura del espacio.
Para los muy "superficiales" $C_2$ parches suaves de radio circular $r$ medida en coordenadas polares geodésicas, la circunferencia tiende a $2 \pi r$ . Aquí la curvatura de Gauss es despreciable o nula $ K, $ lo que llamamos geometría plana euclidiana.
Cuando escribimos $ |K|\, a^2 = 1 $ para parches "más profundos" $ K$ es distinto de cero, positivo o negativo.La circunferencia/longitud de los bucles cerrados son,
en la geometría elíptica :
$$ 2 \pi a \;\sin (r/a) < 2 \pi r, $$
en la geometría hiperbólica: $$ 2 \pi a \; \sinh (r/a) > 2 \pi r, $$
y en la geometría euclidiana:
$$ 2 \pi r. $$
Los ejemplos de parches son el casquete esférico, la superficie de montura de las patatas Pringles y el disco plano, respectivamente.
Existen fórmulas correspondientes similares para las áreas de parches cerrados.
El teorema de Gauss Bonnet y las coordenadas polares geodésicas son los materiales de estudio pertinentes.
