Probar que la multiplicación escalar es continua

Question

Deje $\mathbb{K} \in \{ \mathbb{R} , \mathbb{C} \}$ $s= \mathbb{K}^{\omega}$ ser la habitual secuencia de conjunto con las entradas en $\mathbb{K}$. He demostrado que los $\mathbb{K}$ induce una $\mathbb{K}$-espacio vectorial estructura en $s$ y que la función de $\rho : s \times s \to \mathbb{R}$ dada por $$\displaystyle \rho(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \frac{|x_n - y_n|}{(1+|x_n - y_n|)} \ \ ,$$ for all $x = (x_n) \in s$ and all $y = (y_n) \in s$, is a translation-invariant metric on $s$. Then I proved that addition $Una: (s \times s , \tau_*) \a (s,\tau)$ is continuous, where $\tau$ is the topology on $s$ induced by $\rho$ and $\tau_*$ is the product topology of $(s,\tau)$ with itself. For that purpose I used the metric $\sigma : (s \times s) \times (s \times s) \to \mathbb{R}$ such that $\sigma \big( (x,y) , (a,b) \big) = \rho(x,a) + \rho(y,b)$, $\forall x,y,a,b \in s$, which induces $\tau_*$ on $s \times s$.

Entonces yo estaba tratando de demostrar que la multiplicación escalar $M: (\mathbb{K} \times s , \tilde{\tau}) \to (s, \tau)$ es continua y he fracasado, donde $\tilde{\tau}$ es el producto de la topología en $\mathbb{K} \times s$ $(\mathbb{K}, \eta)$ $(s,\tau)$ $\eta$ es la topología en $\mathbb{K}$ inducida por la norma dada por la función valor absoluto $| \cdot | : \mathbb{K} \to \mathbb{R}$.

No sé de qué métricas a considerar y no sé cómo hacerlo. Necesito ayuda.

Cualquier sugerencia se agradece. Gracias de antemano.

Answer 1

La siguiente es una sugerencia, y refleja mi proceso de pensamiento cuando se piensa acerca de su pregunta.

Por supuesto, la continuidad depende de las topologías en cuestión. Esta es la razón por la para, además de considerar el espacio lineal $s\times s$ con el producto de la topología, y por lo que el uso de la métrica $\sigma$, lo que induce esta topología $\tau_*$, da una buena medida de la distancia entre puntos en $s\times s$, y permite que usted consiga sus manos en calcular el producto métrica basada en la métrica determinada en $s$.

Si nos paralelo esta idea a la multiplicación escalar, lo que debe ser el natural de la topología que tiene sentido dado el espacio de $\mathbb{K}\times s$? Específicamente, no debe hacer sentido de que $\mathbb{K}\times s$ debe ser dotada de $\tau_*$, ya que el $\tau_*$ es el producto de la topología en $s\times s$. La mayoría de los naturales de la topología en $\mathbb{K}\times s$ sería el producto de $\delta\times\tau$ donde $\delta$ es el estándar de la topología generada por el estándar métrico $|\lambda-\mu|$$\mathbb{K}$.

Por lo tanto $\tilde{\sigma}\colon (\mathbb{K}\times s,\delta\times\tau)^2\rightarrow\mathbb{R}^{\geq0}$ definido por $\tilde{\sigma}((\lambda,x),(\mu,y))=|\lambda-\mu|+\rho(x,y)$ debe hacer el truco.

Answer 2

Creo que ahora tengo una respuesta para mi pregunta.

Deje $\ \ \tilde{\sigma} : (\mathbb{K} \times s) \times (\mathbb{K} \times s) \to \mathbb{R} \ \ $ sea la función dada por $$\tilde{\sigma} \big( (\lambda,x) , (\alpha,a) \big) = | \lambda - \alpha | + \rho(x,a) \ ,$$ for all $\ \ (\lambda,x) , (\alpha,a) \in \mathbb{K} \times s$. It is already known that $\ \tilde{\sigma} \ $ is a metric on $\ \mathbb{K} \times s \ $ and that this metric induces the product topology $\ \tilde{\tau} \ $ of $(\mathbb{K},\eta)$ with $(s,\tau)$, where $\eta$ is the topology on $\mathbb{K}$ induced by the norm given by the absolute value function $\ |⋅|:\mathbb{K} \to \mathbb{R}$.

Deje $\ M : \mathbb{K} \times s \to s \ $ ser la multiplicación escalar de la función, que es $\ M(\lambda,x) = \lambda \cdot x = \lambda x$, $\forall (\lambda,x) \in \mathbb{K} \times s$.

Deje $\ (\alpha , a) \in \mathbb{K} \times s \ $ $\ \varepsilon > 0 \ $ ser fijo. Considere la posibilidad de $\ (\lambda , x) \in \mathbb{K} \times s$. Tenemos $$\rho(\lambda x , \alpha a) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \frac{| \lambda x_n - \alpha a_n|}{(1+| \lambda x_n - \alpha a_n|)} = \lim_{j \to \infty} S_j \ ,$$ where $\ (S_j)_{j =1}^{\infty} \in \mathbb{R}^{\omega} \ $ is the sequence of partial sums, given by $\ \displaystyle S_j = \sum_{n=1}^{j} \frac{1}{2^n} \frac{| \lambda x_n - \alpha a_n|}{(1+| \lambda x_n - \alpha a_n|)} \, ,$ for all $\ j \in \mathbb{N}^*$. There exists some $\ k \in \mathbb{N}^*$ such that, $\forall n \in \mathbb{N}^*$, if $\ n \geqslant k \ $, then $0 \leqslant \rho( \lambda x , \alpha) - S_n = | \rho( \lambda x , \alpha) - S_n | < \varepsilon/2$. In particular, we have $$0 \leqslant \rho( \lambda x , \alpha a) - S_k = | \rho( \lambda x , \alpha a) - S_k | < \frac{\varepsilon}{2} \ ,$$ because $(S_n)$ es monótona no decreciente real de la secuencia.

Vamos $$c = \min \left\{ \frac{\varepsilon}{4(|a_1| +1)} , ... , \frac{\varepsilon}{4(|a_k| +1)} \right\}$$ and $$\delta = \min \left\{ c \, , \frac{\varepsilon}{2^k [4(| \alpha | +c) + \varepsilon]} \right\} \ .$$ Then $\ c>0 \ $ and $\ \delta >0$.

Supongamos que $\ \tilde{\sigma} \big( (\lambda,x) , (\alpha,a) \big) < \delta$. Por lo tanto $$| \lambda | - | \alpha | \leqslant \big| | \lambda | - | \alpha | \big| \leqslant | \lambda - \alpha | \leqslant |\lambda - \alpha | + \rho(x,a) = \tilde{\sigma} \big( (\lambda,x) , (\alpha,a) \big) < \delta \leqslant c \ \Rightarrow \ $$ $$\ \Rightarrow \ 0 \leqslant | \lambda | \leqslant | \alpha | +c \ \Rightarrow \ 0 \leqslant \frac{| \lambda |}{| \alpha | +c} < 1$$ and, $\forall n \in \{ 1 , ... , k \}$, we have $\ \displaystyle 0 \leqslant |a_n| < |a_n|+1 \ \Rightarrow \ 0 \leqslant \frac{|a_n|}{|a_n|+1} < 1 \ $, $$|\lambda - \alpha | < c \leqslant \frac{\varepsilon}{4(|a_n| +1)}$$ and $$\frac{1}{2^n} \frac{| x_n - a_n|}{(1+| x_n - a_n|)} \leqslant \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \frac{| x_n - a_n|}{(1+| x_n - a_n|)} = \rho(x,a) \leqslant | \lambda - \alpha | + \rho(x,a) =$$ $$= \tilde{\sigma} \big( (\lambda,x) , (\alpha,a) \big) < \delta \ \Rightarrow \ \frac{| x_n - a_n|}{1+| x_n - a_n|} < 2^n \delta \leqslant 2^k \delta \leqslant \frac{\varepsilon}{4(| \alpha | +c) + \varepsilon} \ \Rightarrow \ $$ $$\ \Rightarrow \ | x_n - a_n| \cdot \left\{ 1 - \frac{\varepsilon}{[4(| \alpha | +c) + \varepsilon]} \right\} < \frac{\varepsilon}{4(| \alpha | +c) + \varepsilon} \ \Rightarrow \ $$ $$\ \Rightarrow \ | x_n - a_n| \cdot \left[ \frac{4(| \alpha | +c)}{4(| \alpha | +c) + \varepsilon} \right] < \frac{\varepsilon}{4(| \alpha | +c) + \varepsilon} \ \Rightarrow \ | x_n - a_n| < \frac{\varepsilon}{4(|\alpha| + c)} \ .$$ That gives $$| \lambda x_n - \alpha a_n | = | \lambda x_n - \lambda a_n + \lambda a_n - \alpha a_n | \leqslant | \lambda x_n - \lambda a_n | + | \lambda a_n - \alpha a_n | =$$ $$= | \lambda (x_n - a_n) | + | (\lambda - \alpha) a_n | = | \lambda| \cdot |x_n - a_n| + |\lambda - \alpha| \cdot |a_n| <$$ $$< \frac{| \lambda| \cdot \varepsilon}{4(|\alpha| + c)} + \frac{\varepsilon \cdot |a_n|}{4(|a_n| +1)} = \frac{\varepsilon}{4} \cdot \left( \frac{|\lambda|}{|\alpha|+c} + \frac{|a_n|}{|a_n|+1} \right) < \frac{\varepsilon}{4} \cdot (1+1) = \frac{\varepsilon}{2} \ ,$$ for all $\ n \in \{ 1, ... , k \}$.

Entonces tenemos $$S_k = \sum_{n=1}^{k} \frac{1}{2^n} \frac{| \lambda x_n - \alpha a_n |}{(1 + | \lambda x_n - \alpha a_n |)} < \sum_{n=1}^{k} \frac{1}{2^n} \frac{(\varepsilon/2)}{(1 + | \lambda x_n - \alpha a_n |)} =$$ $$= \frac{\varepsilon}{2} \cdot \sum_{n=1}^{k} \frac{1}{2^n} \frac{1}{(1 + | \lambda x_n - \alpha a_n |)} < \frac{\varepsilon}{2} \cdot \sum_{n=1}^{k} \frac{1}{2^n} \leqslant \frac{\varepsilon}{2} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{\varepsilon}{2} \cdot 1 = \frac{\varepsilon}{2} \ .$$ Finally $$\rho \big( M(\lambda,x) , M(\alpha,a) \big) = \rho(\lambda x , \alpha a) = S_k + [\rho(\lambda x , \alpha a) - S_k] =$$ $$= S_k + |\rho(\lambda x , \alpha a) - S_k| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \ .$$

A continuación, $M$ es continua en a $\ (\alpha , a) \in \mathbb{K} \times s$.