$\mathbb{Z}[\sqrt{11}]$ es norma euclidiana

Question

Edit: Ya que este ha sido marcada como duplicar quiero señalar que ni en este hilo ni en este, es realmente resultó que $\mathbb{Z}[\sqrt{11}]$ es la norma euclídea, es sólo declaró. Incluso en la referencia vinculada, es sólo afirmó que este es "se puede demostrar fácilmente". Sin embargo, el contenido de esta pregunta no es, si $\mathbb{Z}[\sqrt{11}]$ es la norma euclídea, pero ¿por qué.

Estoy tratando de mostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt{11}]$ es la Euclídea con respecto a la función de $a+b\sqrt{11} \mapsto|N(a+b\sqrt{11})| = | a^2 -11b^2|$

Por multiplicativity, es suficiente para mostrar que $\forall x \in \mathbb{Q}(\sqrt{11}) \exists n \in \mathbb{Z}(\sqrt{11}):|N(n-x)| < 1$

Para el análogo para la declaración de $\mathbb Z [\sqrt6]$, funcionó, considerando los diferentes casos, así que traté de hacer lo mismo aquí. Aquí es lo que he hecho hasta ahora:

Deje $x+y\sqrt{11} \in \mathbb Q (\sqrt{11})$

Caso 1: Supongamos que existe un $b \in \mathbb Z$ s.t. $|y-b| < \frac{1}{\sqrt{11}}$, entonces podemos elegir un $b$ $a \in \mathbb Z$ s.t. $|x-a| \leq \frac{1}{2}$, luego tenemos a $|N(x+y\sqrt{11}-(a+b\sqrt{11}))| < 1$

A partir de ahora supongamos $\forall b \in \mathbb Z: |y-b| > \frac{1}{\sqrt{11}}$

Caso 2: Supongamos que existe un $b \in \mathbb Z$ s.t. $|y-b| < \sqrt{\frac{5}{44}}$ , Luego tenemos a $1 < 11 (y-b)^2 < \frac{5}{4}$, por lo que podemos optar $a \in \mathbb Z$ tal que $\frac{1}{2} \leq |x-a| \leq 1$, luego tenemos a $|N(x+y\sqrt{11}-(a+b\sqrt{11}))| < 1$

A partir de ahora supongamos $\forall b \in \mathbb Z: |y-b| > \sqrt{\frac{5}{44}}$

Caso 3: Supongamos que existe un $b \in \mathbb Z$ s.t. $|y-b| < \sqrt{\frac{2}{11}}$ Podemos optar $a \in \mathbb Z$ s.t. $1 \leq |x-a| \leq \frac{3}{2}$, luego tenemos a $|N(x+y\sqrt{11}-(a+b\sqrt{11}))| < 1$

A partir de ahora, podemos suponer que $|y-b| > \sqrt{\frac{2}{11}}$.

Esto es donde estoy atascado. Traté de elegir a $b \in \mathbb Z$ s.t. $\frac{1}{2} \geq |y-b| > \sqrt{\frac{2}{11}}$, pero luego me encuentro con problemas, si elijo $a \in \mathbb Z$ s.t. $1 \leq |x-a| \leq \frac{3}{2}$ o s.t. $\frac{3}{2} \leq |x-a| \leq 2$

Answer 1

Creo que el resultado se demuestra en Oppenheim, campos cuadráticos con y sin el algoritmo de Euclides, matemáticas Annalen 109 (1934) 349-352 y creo que este papel está disponible aquí. La prueba es esencialmente la primera mitad de la página 350, junto con observaciones preliminares en la página 349.