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Question

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n+4^n}$$

¿Hay allí una forma de solucionar esto sin usar $e^{ln(3^n+4^n)}$?

Quizá: $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{4^n}=4\,\leq\,\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n+4^n}\,\leq\,\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2\cdot4^n}=4$?

Answer 1

ps

Answer 2

La prueba está bien, siempre que puede utilizar que $$ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1 $$ Esto se deduce de la desigualdad de Bernoulli $(1+x)^n\ge 1+nx$, siempre que $x>-1$ $n$ es un entero positivo, en la forma $$ \sqrt[n]{1+nx}\le 1+x $$ Para $x=1/n$ esto lee $$ \sqrt[n]{2}\le 1+\frac{1}{n} $$ y por lo tanto, de $$ 1\le\sqrt[n]{2}\le 1+\frac{1}{n} $$ y el teorema del encaje, se puede concluir.

A continuación, la aplicación del teorema del encaje a $$ 4=\sqrt[n]{4^n}\le\sqrt[n]{3^n+4^n}\le \sqrt[n]{2\cdot 4^n}=4\sqrt[n]{2} $$ es bueno.

Answer 3

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n+b^n}= \text{max}(a,b)$

Detalles: límite de cómputo, sándwich de.