Resolver en $\mathbb Z^3$.

Question

Que $x$, $y$ $z$ ser números enteros. Resolver la siguiente ecuación. $$x^2+y^2+z^2=45(xy+xz+yz)$$

Mi intentando.

Es una ecuación cuadrática de $z$ y necesitamos un entero $\Delta=n^2$, $n$

pero da una expresión muy fea.

¡Gracias!

Answer 1

Hizo algunas informal de cheques. Este parece ser isotrópica en el $\mathbb Q_2$ $\mathbb Q_3.$ definitivamente es anisotrópico en $\mathbb Q_{11}$ $\mathbb Q_{47}.$

Yo había hecho esto antes. Allí se entero de soluciones de ($x,y,z$ no todos cero) a $$A(x^2 + y^2 + z^2) = B (yz + zx + xy)$$ con $A,B > 0$ $\gcd(A,B) = 1$ $B > A$ si y sólo si ambas $$B - A = r^2 + 3 s^2$$ y $$B + 2 A = u^2 + 3 v^2$$

Usted tiene $$45 - 1 = 44$$ y $$45 + 2 = 47$$ ambos de los cuales se $2 \pmod 3$ y no puede ser de manera escrita. Ver Encontrar una solución: $3(x^2+y^2+z^2)=10(xy+yz+zx)$

Demostrando la necesidad: la definición de $$u = -x-y+2z, \; \; \; v = -x+y, \; \; \; w = x+y+z,$$ obtenemos de diagonalización $$12 g = (2A+B) u^2 + 3 (2A+B) v^2 -4(B-A) w^2.$$ Luego, usamos el teorema de Legendre en indefinido ternaries

Prueba de Legendre del teorema en el ternario forma cuadrática

Y, no hay soluciones no triviales para

$$47 u^2 + 3 \cdot 47 v^2 -4\cdot 44 w^2.$$ $$47 u^2 + 141 v^2 -176 w^2.$$

Para ser más específicos, si $$47 u^2 + 3 \cdot 47 v^2 -4\cdot 44 w^2 \equiv 0 \pmod {11^2},$$ a continuación, todos los $$u,v,w \equiv 0 \pmod {11}.$$ Como resultado, no puede haber soluciones con $\gcd(x,y,z) = 1,$ por lo tanto no es distinto de cero soluciones.

Si hay soluciones, consigue infinitamente muchos por Vieta Saltar, similar a la Markoff números de $x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz.$ del mismo modo, uno puede descartar cualquier tipo de soluciones. Estoy en el teléfono, si usted no puede trabajar en lo que yo pueda hacer algo más tarde https://en.wikipedia.org/wiki/Markov_number

Answer 2

¡Para Will Jagy, lo siento!

Que $x-y=a$, $y-z=b$ y $z-x=c$.

Por lo tanto, $a^2+b^2+c^2\vdots11$ y $a+b+c=0$.

Así, $a^2+ab+b^2\vdots11$, que dice que $a\vdots11$ y $b\vdots11$ y $x\equiv y\equiv z(\mod11)$,

que da $x\vdots11$, $y\vdots11$ y $z\vdots11$ (si $x\equiv y\equiv z\equiv r(\mod11)$ y $r^2\vdots11$).

ID est, una pendiente infinita termina este problema.

¡Hecho!