Dado $|f(x) - f(y)| \leq 7(x-y)^2$ mostrar $f$ es una función constante

Question

Creo que he conseguido resolver esto, sólo me preguntaba si alguien podría revisarlo porque hay algunas zonas en las que no estoy seguro de mis pasos. Aquí está la pregunta completa:

Supongamos que $f$ es una función de valor real definida en todo $x$ y $|f(x) - f(y)| \leq 7(x-y)^2$ para todos $x$ y $y$ . Prueba $f$ es una función constante.

En primer lugar, defina $y = x+h$ y toma $h \neq 0$ entonces $|f(y) - f(x)| \leq 7(x-y)^2$ se convierte en $|f(x+h) - f(x)| \leq 7h^2$ . Dividiendo por $|h|$ nos encontramos con que:

$\left|\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\right| \leq 7|h|$ .

Claramente, $\lim_{h\rightarrow 0} 7|h| = 0$ . Entonces por el teorema del sándwich (teorema del apretón):

$\lim_{h\rightarrow 0} \left|\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\right| = 0.$ Y así $f'(x) = 0$ para la arbitrariedad $x$ . Así que $f(x)$ es una función constante.

Se ha añadido una condición crucial en $h$ gracias a la ayuda de los comentarios

Answer 1

Tomemos dos números reales arbitrarios $x$ y $y$ . Dejemos que $h=y-x.$

Vamos a subdividir $(x,y)$ en $n$ intervalos de igual longitud $(x_k,x_{k+1})$ con $x_0=x$ y $x_n=y$ (por tanto, todos con longitud $\tfrac{h}{n}$ ):

$$|f(x)-f(y)|=|\sum_{k=0}^{n-1}(f(x_{k+1})-f(x_k))|\leq \sum_{k=0}^{n-1}|(f(x_{k+1})-f(x_k)|\leq n 7 (\tfrac{h}{n})^2=7\tfrac{h^2}{n}$$

al que se le puede dar un valor pequeño y arbitrario.

Así, $f(x)=f(y)$ como $x$ y $y$ son arbitrarios, $f$ es, por tanto, una función constante.

Observación: por supuesto, el coeficiente $7$ puede sustituirse por cualquier constante positiva. Además el exponente $2$ podría haber sido cualquier exponente (de Hölder) $\alpha>1$ (ver comentario de @Luca).