Derivado de $ f(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}e^{-n^2x^2}$ 0

Question

Que $ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}e^{-n^2x^2}$

Yo sé que la serie del % de derivados $g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} -2xe^{-n^2x^2}$uniformely convergente sobre cada conjunto de $]-\infty;-b] \cup [b;+\infty[ , b>0 $.

Esto implica que el $f$ es diferenciable en $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Mi pregunta es, ¿es diferenciable en $0$?

He tratado de aplicar la regla de L'hopistal pero no puedo averiguar si $g(x)$ tiene un límite cuando $x \to 0^+$ o $x \to 0^{-}$. También trató de calcular la derivada en $0$ pero no veo cómo realizar los cálculos.

Muchas thx por cualquier ayuda

Answer 1

La función$$ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}e^{-x^{2}n^{2}} $$ tiene un máximo en $x=0$, ya que el $e^{-x^{2}n^{2}}\leq e^{0}=1$, por lo que si $f$ es diferenciable en a $x=0$, necesariamente, $f^{\prime }(0)=0$. Por $m\in \mathbb{N }$ we have$$ \frac{f(0)-f(\frac{1}{m})}{\frac{1}{m}-0}=m\sum_{n=1}^{\infty }% \frac{1}{n^{2}}(1-e^{-\frac{n^{2}}{m^{2}}})\geq m\sum_{n=1}^{m} \frac{1}{n^{2}}(1-e^{-\frac{n^{2}}{m^{2}}}) $$ Considere la función $g(t)=1-e^{-t}-\frac{t}{2}$. Tenga en cuenta que $g(0)=0$ e $% g(1)=\frac{1}{2}-e^{-1}>0$. Moreover, $g^{\prime }(t)=e^{-t}-\frac{1}{2}>0$ para $t<\log 2$. Por lo tanto, $g>0$ $t\in (0,1)$ $1-e^{-t}\geq \frac{t}{2} $ for $t\en \lbrack 0,1]$. Using this inequality with $t=\frac{n^{2}}{m^{2}} \leq 1$ we get that$$ m\sum_{n=1}^{m}\frac{1}{n^{2}}(1-e^{-\frac{n^{2}}{m^{2}}})\geq m\sum_{n=1}^{m}\frac{1}{n^{2}}\frac{1}{2}\frac{n^{2}}{m^{2}}=\frac{ 1}{2}. $$ Esto muestra que$$ \frac{f(0)-f(\frac{1}{m})}{\frac{1}{m}-0}\geq \frac{1}{2}, $$ que es $\frac{f(\frac{1}{m})-f(0)}{\frac{1}{m}-0}\leq -\frac{1}{2}$. Por lo tanto, $$\liminf_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x 0}\leq -\frac{1}{2}, $$ lo que implica que $f$ no puede ser diferenciable en a $x=0$.