¿Debería esta "definición" de igualdad de conjuntos ser un axioma?

Question

Esta pregunta trata sobre la igualdad de conjuntos, tal como se presenta en el Capítulo 3, Teoría de conjuntos, Sección 1, Fundamentos, del libro de Terence Tao, Análisis I. Sin embargo, pienso que es prudente comenzar antes (técnicamente, después) en el libro, en el Apéndice A, los conceptos básicos de la lógica matemática, Sección 7, Igualdad. En la página 329, escribe,

La igualdad es una relación que relaciona dos objetos $x$, $y$ del mismo tipo $T$ (por ejemplo, dos enteros, o dos matrices, o dos vectores, etc.). Dados dos objetos $x$ e $y$, la afirmación $x = y$ puede ser verdadera o no; depende del valor de $x$ e $y y también de cómo se define la igualdad para la clase de objetos en consideración. [...]

Cómo se define la igualdad depende de la clase $T$ de objetos en consideración, y en cierto modo es solo cuestión de definición. Sin embargo, para fines de lógica, requerimos que la igualdad cumpla con los siguientes cuatro axiomas de igualdad:

• (Axioma reflexivo). Dado cualquier objeto $x$, tenemos $x = x`.
• (Axioma de simetría). Dados dos objetos $x$ e $y$ del mismo tipo, si $x = y`, entonces $y = x`.
• (Axioma transitivo). Dados tres objetos $x`, $y`, $z` del mismo tipo, si $x = y` y y = z`, entonces $x = z`.

• (Axioma de sustitución). Dados dos objetos $x` e $y` del mismo tipo, si $x = y`, entonces $f(x) = f(y)` para todas las funciones u operaciones $f`.

  Similarmente, para cualquier propiedad $P(x)` que dependa de $x`, si $x = y`, entonces $P(x)` y $P(y)` son afirmaciones equivalentes.

Basado en la información en este apéndice, me parece que Tao está desarrollando una teoría de objetos, donde los objetos pueden ser de diferentes tipos o clases (en otras palabras, su lógica es de varios tipos). Volviendo al Capítulo 3, Teoría de conjuntos, él afirma que los conjuntos son un tipo de objeto, y que el predicado $\in` puede usarse para formar una proposición sobre cualquier par de objetos, donde el segundo objeto es un conjunto: él escribe, en la página 34,

Primero aclaramos un punto: consideramos los propios conjuntos como un tipo de objeto.

Axioma 3.1 (Los conjuntos son objetos). Si $A` es un conjunto, entonces $A` también es un objeto. En particular, dados dos conjuntos $A` y $B`, tiene sentido preguntarse si $A` también es un elemento de $B`.

[...]

Para resumir hasta ahora, entre todos los objetos estudiados en matemáticas, algunos de los objetos resultan ser conjuntos; si $x` es un objeto y $A` es un conjunto, entonces $x \in A` es verdadero o falso.

En la página 35, él presenta la definición de igualdad para conjuntos:

Definición 3.1.4 (Igualdad de conjuntos). Dos conjuntos $A` y $B` son iguales, $A = B`, si todo elemento de $A` es un elemento de $B` y viceversa. Dicho de otra manera, $A = B` si y solo si todo elemento $x` de $A` también pertenece a $B`, y todo elemento $y` de $B` también pertenece a $A`.

[...]

Se puede verificar fácilmente que esta noción de igualdad es reflexiva, simétrica y transitiva (Ejercicio 3.1.1). Observa que si $x \in A` y $A = B`, entonces $x \in B`, según la Definición 3.1.4. Así, la relación "es un elemento de" $\in` cumple con el axioma de sustitución (ver Sección A.7). Debido a esto, cualquier nueva operación que definamos en conjuntos también cumplirá con el axioma de sustitución, siempre y cuando podamos definir esa operación puramente en términos de la relación $\in`.

Siento que la afirmación en la Definición 3.1.4 debería considerarse un axioma, en lugar de una definición, ya que el predicado $=$ ya se axiomatizó en la sección A.7 como parte de su lógica de referencia. El ejercicio de "verificar que esta noción de igualdad es reflexiva, simétrica y transitiva" podría entenderse entonces como una verificación de que el axioma de igualdad de conjuntos es coherente con los axiomas de igualdad de la sección A.7 (¿es "coherente" la palabra correcta a usar aquí?). ¿Estoy en lo correcto al pensar que su definición de igualdad de conjuntos debería ser en realidad un axioma? Más en general, ¿cómo debería uno distinguir si una afirmación debería ser un axioma o una definición?

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Agregado en la actualización: Supongo que todo se reduce a si estamos utilizando lógica de primer orden con igualdad; como se indica aquí, la primera posibilidad es que asumimos los axiomas enumerados en el apéndice para el predicado $=`, incluyendo los axiomas de sustitución para $\in` con respecto a conjuntos:

• Para todos los conjuntos $x` e $y`, si $x = y`, entonces para todos los objetos $z`, $z \in x` si y solo si $z \in y`.

• Para todos los objetos $x` e $y`, si $x = y`, entonces para todos los conjuntos $z`, $x \in z` si y solo si $y \in z`.

Luego añadimos el axioma de extensionalidad para FOL con igualdad:

• Para todos los conjuntos $x` e $y`, si para todos los objetos $z`, $z \in x` si y solo si $z \in y`, entonces $x = y`.

Por otro lado, la segunda posibilidad, que parece ser el caso en el texto de Tao (ya que nos pide demostrar que la igualdad de conjuntos cumple con los axiomas reflexivos, simétricos y transitivos), es que no axiomatizamos nada sobre el predicado $=` hasta llegar a este punto, y luego lo "definimos" para conjuntos con el axioma:

• Para todos los conjuntos $x` e $y`, $x = y` si y solo si, para todos los objetos $z`, $z \in x` si y solo si $z \in y`.

Los axiomas de igualdad en el apéndice entonces sirven más como un "checklist" de lo que queremos que la igualdad de conjuntos cumpla; como se explica en esta respuesta a otra pregunta sobre la definición de igualdad de Tao,

[...] en teoría de conjuntos, estos "axiomas" no son la definición de igualdad. Más bien, la igualdad se define mediante la fórmula anterior: dos conjuntos son iguales cuando consisten en elementos idénticos. Pero cuando definimos la igualdad de esta forma, surge una pregunta natural: ¿por qué estamos nombrando esto como "igualdad" en absoluto? Es por esto que demostramos los "axiomas de igualdad", que ya estamos acostumbrados, para mostrar que el nombre "igualdad" es adecuado. Y cuando los probamos, se convierten en teoremas de la teoría de conjuntos y propiedades de la igualdad en lugar de axiomas. [...]

Nota. Aunque en este punto no hay ninguna suposición sobre la relación $=` para objetos de otros tipos, él parece depender de que exista para su afirmación del axioma de emparejamiento en la página 36:

[...] si $a` y $b` son objetos, entonces existe un conjunto $\{a, b\}` cuyos únicos elementos son $a` y $b`; es decir, para cada objeto $y`, tenemos $y \in \{a, b\}` si y solo si $y = a` o $y = b` [...]

Además, aunque él nunca lo afirma explícitamente, creo que probablemente asume el axioma de extensionalidad para FOL sin igualdad:

• Para todos los objetos $x` e $y`, si $x = y`, entonces para todos los conjuntos $z`, $x \in z` si y solo si $y \in z`.

Answer 1

Una buena observación, pero ten en cuenta que el predicado $=$ no fue axiomatizado previamente. De hecho, Tao dice explícitamente: "cómo se define la igualdad depende de la clase $T$ de objetos en consideración". Los axiomas listados en esa sección describen el comportamiento de todos los predicados $=$, ¡pero ciertamente no los definen! Es análogo al axioma "todos los divisores positivos de $p$ son o bien $1$ o $p$"; esto describe correctamente todos los primos, pero no define un primo en particular.

Answer 2

Algunos axiomas son 'axiomas definicionales' ... son axiomas y definiciones al mismo tiempo. Así que, cuando el libro define la igualdad de conjuntos, podríamos capturar eso usando un axioma definicional, tal como: para cualquier conjunto $x$ e $y$:

$$x = y \leftrightarrow \forall z (z \in x \leftrightarrow z \in y)$$

El hecho de que $\leftrightarrow$ se haya utilizado a menudo es indicativo de tales axiomas definicionales.

También: el hecho de que $=$ ya se haya utilizado como símbolo lógico, teniendo las propiedades de reflexividad, simetría, transitividad e indiscernibilidad (lo que el libro llama el axioma de Sustitución) no significa que la igualdad de conjuntos tenía que obedecer esto: podríamos haber elegido un símbolo diferente específico para 'igualdad de conjuntos', y podríamos haberlo definido de tal manera que de hecho no tuviera todas estas propiedades, si hubiéramos querido. Nota, por ejemplo, cómo no usamos el símbolo $=$ para 'igualdad de cardinalidad' o 'equinumerosidad'. Así que, para evitar confusiones, tal vez deberíamos haber usado un símbolo especial también para 'igualdad de conjuntos'.

De hecho, decir que los conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos es tener una visión 'extensional' sobre los conjuntos, que es diferente de una visión 'intensional', donde los conjuntos pueden tener los mismos elementos pero aún así no ser el mismo conjunto. Por ejemplo, supongamos que todas y solo las personas cuyo color favorito es verde son personas cuyo segundo nombre comienza con una 'J'. Luego, en la visión extensional, el conjunto de 'todas las personas cuyo color favorito es verde' es igual al conjunto de 'todas las personas cuyo segundo nombre comienza con una 'J'. Pero en la visión intensional, los dos conjuntos simplemente tienen los mismos miembros, pero aún se consideran conjuntos diferentes. Así que podríamos haber definido los conjuntos de esa manera, y en ese caso, el predicado 'tener-los-mismos-miembros-que' definitivamente habría necesitado un símbolo distinto a $=$.

Answer 3

Mientras que Tao sobrecarga el símbolo de igualdad aquí para significar ambiguoamente ya sea la igualdad lógica o la igualdad de conjuntos (en el tipo de conjuntos), no los iguala. Para hacer eso, de hecho, requeriría un axioma. En cambio, lo que él afirma es si articulamos cuidadosamente todo en términos de la relación de pertenencia entonces sería admisible añadir un axioma identificando la igualdad lógica en conjuntos con la definición que proporcionó. Dicho de otra manera, si estuviera tomando la confluencia como un axioma, la calificación en la oración "Por esto, cualquier nueva operación que definamos en conjuntos también obedecerá al axioma de sustitución, siempre y cuando podamos definir esa operación puramente en términos de la relación $\in$." habría sido innecesaria. En su lugar, si la afirmación fuera un axioma sería inconsistente tener una operación que no cumpla el axioma de sustitución. El uso de Tao del mismo símbolo para la igualdad lógica (en conjuntos) y la igualdad de conjuntos solo es justificable, sin embargo, si garantiza que cada definición cumple con todas las instancias expresables del axioma de sustitución con respecto a la igualdad de conjuntos. Esto es un ejercicio metalógico.

Aunque estoy bastante seguro de que no es importante para los propósitos de Tao, existen diferencias entre afirmar axiomáticamente que estas igualdades coinciden y no afirmar eso incluso en el caso en que el axioma es admisible. Originalmente iba a hablar de esto solo como una nota al margen, pero con su actualización a la pregunta es más directamente relevante. Tao está trabajando en una lógica de primer orden con igualdad (al menos con el propósito de hablar sobre los "axiomas de igualdad"). Solo porque nuestra lógica tiene igualdad no significa que no podamos tomar la segunda opción en el enlace que proporcionó y definir una relación de equivalencia que represente la igualdad de conjuntos, aunque definitivamente debería usar un símbolo diferente en ese caso. Eso es lo que está haciendo Tao. Mediante un abuso de notación, está usando el mismo símbolo. Esto está justificado al tener la primera opción en ese enlace - identificar la igualdad lógica y la igualdad de conjuntos definida - ser admisible.

Entonces, ¿cuál es la diferencia? Con una noción lógica de igualdad, la semántica de igualdad es igualdad de las interpretaciones. El Axioma de Sustitución no es un teorema que se pueda demostrar (o incluso declarar) en lógica de primer orden sobre cualquier relación. En este sentido, la igualdad lógica está al mismo nivel que otros conectivos lógicos al hablar de una operación en las interpretaciones. Para una noción definida de "igualdad", simplemente estás introduciendo un nuevo símbolo de relación y demostrando algunas propiedades al respecto. Para el Axioma de Sustitución debes metadilógicamente demostrar que se cumple para todos los predicados/operaciones que puedas escribir.

Sin embargo, esto solo dice que no puedes escribir nada que distinga objetos relacionados por esta relación de equivalencia; aún podría haber cosas que puedan distinguir esos objetos. Semánticamente, esto significa que la interpretación de esta "igualdad" definida es una relación de equivalencia que es respetada por todos los predicados y operaciones definidas, pero podría haber otras funciones en la interpretación que no respeten esa relación de equivalencia. Por ejemplo, podría interpretar "conjuntos" como pares de conjuntos y la pertenencia como pertenencia solo al primer componente del par. La condición para la sustitución entonces, a nivel semántico, sería algo así para predicados (que se interpretan como subconjuntos): $(x,y)\in P\Leftrightarrow \forall z.(x,z)\in P$. La identificación de la igualdad lógica con la "igualdad" definida sería admisible para la definición de "igualdad" de conjuntos que Tao proporcionó si hubiera una interpretación que hiciera verdadera la condición anterior (y una similar para operaciones). Si existe tal interpretación depende de los predicados, operaciones y axiomas que afirmamos. Por supuesto, existen subconjuntos que no satisfacen lo anterior, por lo que si afirmáramos el axioma identificando las dos formas de igualdad, lo anterior ya no sería una interpretación válida.

Finalmente, en una teoría fija en la que afirmar axiomáticamente que una relación de equivalencia dada coincide con la igualdad lógica es admisible, no podemos diferenciar entre si esa relación de equivalencia es la igualdad lógica o no en el nivel de lógica/sintaxis. Supongo que a Tao no le preocupan las interpretaciones de la teoría que está construyendo, y está diciendo que mantendrá esta propiedad de admisibilidad a medida que extienda la teoría. En la medida en que desees una fórmula explícita para la igualdad, el trabajo es el mismo en ambos casos. Ya sea que tengas el axioma y debas verificar que la lógica es (relativamente) consistente, o debas verificar la admisibilidad del axioma que es verificar que sería consistente agregar el axioma. La única diferencia entre él trabajando en Lógica de Primer Orden con o sin igualdad es que en el último caso está obligado a proporcionar una definición explícita de "igualdad" (si la utiliza). Definir explícitamente una noción de igualdad y mostrar que es admisible tenerla ser la noción (lógica) de igualdad para un tipo como lo hace Tao es una buena parte de higiene lógica que recomiendo.