Demostrar que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 4} \sqrt{2x+7} = \sqrt{15}$.

Question

Demostrar que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 4} \sqrt{2x+7} = \sqrt{15}$ el uso de la épsilon-delta definición.

Esto es lo que tengo, pero sé que mi valor delta es incorrecta. Mi profesor dijo que era el camino correcto, pero mi delta es incorrecta.

Prueba: Vamos A $\varepsilon>0$. Elija $\delta$ tal que $0<\delta<\min(\varepsilon,1)$. Esto significa que tanto $\delta<1$$\delta<\varepsilon$. Deje $x\in\mathbb{R}$ tal que $0<|2x-8|<\delta$. Desde $\delta<1$, tenemos

$$\begin{array}{cccccc} &-1 &< & 2x-8 & < & 1\\ \Rightarrow & 7 &<& 2x &<& 9 \\ \Rightarrow & 7/2 & < & x & < & 9/2 \end{array}$$

Desde $7/2<x<9/2$,

$$\begin{array}{cccccc} &7/2 & < & x & < & 9/2\\ \Rightarrow & 7 &<& 2x &<& 9 \\ \Rightarrow & 7+7 & < & 2x+7 & < & 9+7 \\ \Rightarrow & \sqrt{14} & < & \sqrt{2x+7} & < & \sqrt{16} \\ \Rightarrow & \sqrt{14} + \sqrt{15} & < & \sqrt{2x+7}+\sqrt{15} & < & \sqrt{16}+\sqrt{15}\\ \Rightarrow & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{14} + \sqrt{15}} & > & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+7}+\sqrt{15}} & > & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{16} + \sqrt{15}}\\ \end{array}$$

Esto implica $$\left|\frac{1}{\sqrt{2x+7}+\sqrt{15}}\right|< \frac{1}{\sqrt{14} + \sqrt{15}}<1.$$

Por lo tanto,

$$\begin{align*} \left|\sqrt{2x+7}-\sqrt{15}\right| &= \left|\left(\sqrt{2x+7}-\sqrt{15}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2x+7}+\sqrt{15}}{\sqrt{2x+7}+\sqrt{15}}\right)\right| \\ &= \left|2x+7-15\right| \cdot \left| \frac{1}{\sqrt{2x+7}+\sqrt{15}}\right|\\ &=\left|2x-8\right|\cdot \left|\frac{1}{\sqrt{2x+7}+\sqrt{15}}\right|\\ &< \delta \cdot 1 \\ &< \varepsilon \cdot 1\\ \end{align*}$$

Por lo tanto, $|\sqrt{2x+7}-\sqrt{15}|<\varepsilon$. Por eso, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 4} \sqrt{2x+7} = \sqrt{15}$.

Answer 1

Sugerencia:

$$ \sqrt{2x+7} - \sqrt{15} = \frac {(\sqrt{2x+7} - \sqrt{15}) (\sqrt{2x+7} + \sqrt{15})} {\sqrt{2x+7} + \sqrt{15}} = \frac{2x-8}{\sqrt{2x+7} + \sqrt{15}} $$

Para eliminar la dependencia en $x$ en el denominador, use que raíces cuadradas son positivas: $$ | \sqrt{2x+7}-\sqrt{15}| = \frac {| 2 x-8 |} {\sqrt{2x+7} + \sqrt{15}} \le \frac {| 2 x-8 |} {\sqrt{15}} $$

Answer 2

Denotar por $D$ el dominio de $f$ donde $f(x) = \sqrt{2x + 7}$.

Deje $\varepsilon > 0$. Elija $\delta = (\sqrt{15}/2) \varepsilon$. Deje $x \in D$. Si $0 < |x-4| < \delta$, $$\begin{aligned}[t] |f(x) - \sqrt{15}| = \biggl| \dfrac{(f(x) - \sqrt{15}\,)(f(x) + \sqrt{15}\,)}{f(x) + \sqrt{15}}\biggr| &= \dfrac{1}{f(x) + \sqrt{15}} \cdot |(2x+7)-15| \\ &= \dfrac{2}{f(x) + \sqrt{15}} \cdot |x-4| \\ &< \dfrac{2}{\sqrt{15}} \cdot \delta \\ &= \dfrac{2}{\sqrt{15}} \cdot \dfrac{\varepsilon \sqrt{15}}{2} = \varepsilon.\end{aligned} $$

Por lo tanto, $\lim_{x \to 4} \sqrt{2x+7} = \sqrt{15}$.

Recuerde que si usted está tratando de demostrar $\lim_{x \to c} f(x) = L$ el uso de la $\varepsilon$-$\delta$ definición de la estructura de la prueba debe ser tal que así:

"Vamos a $\varepsilon > 0$."
[Una selección de $\delta$ va aquí.]
"Vamos a $x \in \operatorname{dom}(f)$."
"Supongamos $0 < |x-c| < \delta$."
[Prueba de que $|f(x) - L| < \varepsilon$ va aquí.]
"Por lo tanto, $\lim_{x \to c} f(x) = L$."