La intuición de la importancia de las formas modulares

Question

Estoy aprendiendo acerca de las formas modulares por primera vez este término y estoy empezando a envolver mi cabeza alrededor de lo que podría ser el panorama de las cosas.

Me preguntaba si la siguiente interpretación de por qué las formas modulares son importantes es correcta a) técnicamente y b) en términos de obtención de la imagen de la derecha.

Posible la Intuición de la Importancia de las Formas Modulares:

Queremos aritmética de los datos sobre curvas elípticas. Dada una congruencia subgrupo $$\Gamma\in\{\Gamma_1(N),\Gamma_0(N),\Gamma(N)\}$$ dejamos $X(\Gamma)$ denotar $\Gamma/\mathfrak{h}^\ast$ (donde $\mathfrak{h}^\ast$ es la mitad superior del plano- $\mathfrak{h}$ unión de las cúspides $\mathbb{Q}\cup\{\infty\}$). Sabemos entonces que $X(\Gamma)$ es el compactification de un espacio de moduli cuyos puntos de clasificar las curvas elípticas con algunos de torsión de datos. Debido a esto, queremos entender la geometría de $X(\Gamma)$ porque espero que esto se traducirá, a través de los módulos concepto de espacio, de vuelta a la aritmética de los datos sobre curvas elípticas.

Pero, dado un compacto de superficie de Riemann, uno ideológicamente recibe una gran cantidad de la información relativa a la superficie mediante el estudio de meromorphic secciones de ciertos holomorphic línea de paquetes de más de $X$. Un modo muy natural de la línea de compuesto asociado a $X(\Gamma)$ $(T_{X(\Gamma)}^{\ast1,0})^{\otimes n}$ (que es el $n^{\text{th}}$-tensión de alimentación de su holomorphic la cotangente del paquete). Por lo tanto, un lugar natural para buscar la información geométrica sobre $X(\Gamma)$ es en el meromorphic secciones de este paquete, que se denota $\Omega^{\otimes n}(X(\Gamma))$. Más específicamente, uno puede centrarse en la holomorphic secciones $H^0(X(\Gamma),(T_{X(\Gamma)}^{\ast1,0})^{\otimes n})$ de esta línea de paquete.

Dicho esto, el natural de equivalencia mapa de $\pi:\mathfrak{h}\to X(\Gamma)$ da lugar a la retirada de mapa de $\pi^\ast:\Omega^{\otimes n}(X(\Gamma))\to\Omega^{\otimes n}(\mathfrak{h})$. Pero, puesto que el $\mathfrak{h}$ tiene un solo gráfico, podemos, naturalmente, identificar a $\Omega^{\otimes n}(\mathfrak{h})$$\text{Mer}(\mathfrak{h})$. Así, tenemos un lineal de incrustación $\pi^\ast:\Omega^{\otimes n}(X(\Gamma))\to \text{Mer}(\mathfrak{h})$. Desde $\text{Mer}(\mathfrak{h})$ es más fácil de manejar (al menos es más fácil "ver") nos gustaría identificar los objetos de interés, $\Omega^{\otimes n}(X(\Gamma))$, y el subespacio $H^0(X(\Gamma),(T_{X(\Gamma)}^{\ast 1,0})^{\otimes n})$, con su imagen en $\pi^\ast$.

Dicho esto, uno puede demostrar que la imagen en $\pi^\ast$ $\Omega^{\otimes n}(X(\Gamma))$ $\mathcal{A}_{2n}(\Gamma)$ (el automorphic formas de peso $2n$ con respecto al $\Gamma$) y la imagen de $H^0(X(\Gamma),(T_{X(\Gamma)}^{\ast 1,0})^{\otimes n})$ está contenida en $\mathcal{M}_{2n}(\Gamma)$ (las formas modulares de peso $2n$ con respecto al $\Gamma$).

Ok, suponiendo que lo anterior es correcto, hay tres preguntas que suplicó que le preguntó:

1. ¿Por qué nos importa a todos los de $\mathcal{M}_{2n}(\Gamma)$? ¿Por qué no nos preocupamos más específica acerca de la imagen de $H^0(X(\Gamma),(T_{X(\Gamma)}^{\ast 1,0})^{\otimes n})$ bajo $\pi^\ast$? Podemos describir esta imagen (por ejemplo, se las tazas formas para $n=1$)?
2. ¿Qué extraña de peso modular o automorphic formas nos dicen? Si $-I\in\Gamma$, entonces no hay no-cero de tales objetos, pero en los casos en que $-I\notin\Gamma$, obtenemos nada por mirar extraño pesos?
3. ¿Qué hace la geometría de $X(\Gamma)$ nos dicen sobre curvas elípticas? Por ejemplo, el género de $X(\Gamma)$ nos dice cosas acerca de los objetos que parametrizar. Dicho esto, no necesitamos para el estudio de las secciones de la línea de paquetes para obtener este geométrica de los datos. En efecto, el género de $X_0(1)$ puede deducirse del hecho de que el $j$-invariante tiene una simple polo, y por lo tanto debe ser inducida por un biholomorphism $j:X_0(1)\to\mathbb{P}^1$. Desde allí, podemos encontrar en el género de $X(\Gamma)$ mediante el uso de la natural proyección de $X(\Gamma)\to X_0(1)$ y la de Riemann-Hurwitz fórmula. Así que, ¿qué información geométrica sobre $X(\Gamma)$ es importante que uno necesita automorphic/formas modulares para obtener?

Muchas gracias, tanto amigos! He estado lidiando con el "big picture" de las formas modulares de la tarde, y esta es la mejor I de la cam. Estoy muy emocionado de escuchar sus respuestas!

Answer 1

La teoría de las formas modulares surgió del estudio de las integrales elípticas (como lo hizo la teoría de curvas elípticas, y gran parte de la moderna geometría algebraica, y de hecho gran parte de la matemática moderna). La gente entendió que (completa) de las integrales elípticas (que nosotros consideramos como el número que se obtiene mediante la integración de de Rham cohomology de la clase, por ejemplo, la asociada a la holomorphic diferencial sobre una curva elíptica, a través de una homología de clase en la curva) que dependía de una invariante (lo que nosotros consideramos como el $j$-invariante de la curva elíptica, aunque históricamente, la gente utiliza otros invariantes, dependiendo a menudo de algunos auxiliares a nivel de estructura, tales como $\lambda$ o $k$ (la raíz cuadrada de $\lambda$)). Esta invariante fue llamado el módulo (que es el origen del adjetivo modular en este contexto).

La gente sabía que si se sustituye una curva elíptica por un $N$-isogenous uno, entonces la integral elíptica sería multiplicado por $N$ (en términos de $\mathbb C/\Lambda$, la integral elíptica es sólo uno de la base de elementos para $\Lambda$, y multiplicando este por $N$, mientras se mantiene el otro fijo, da una nueva curva elíptica relacionados con la original por una $N$-isogeny). Ellos se preguntaban cómo podían describir el módulo para esta $N$-isogenous de curva elíptica (o integral) en términos de la original. Esto les llevó a encontrar explícita de las ecuaciones de las curvas modulares $X_0(N)$ (para valores pequeños de a $N$).

Con este tipo de investigaciones (y recuerde, estos eran de gente brillante --- Jacobi, Kronecker, Klein, solo para mencionar algunos que abarca una buena parte del siglo 19), era natural que ellos fueron llevados a las formas modulares así como modular funciones (por ejemplo, los coeficientes de Taylor de funciones elípticas dar modular de formas; de otro, la coordina --- dice con respecto a Weierstrass elíptica funciones --- de $N$-torsión puntos dan a nivel de $N$ las formas modulares).

Así que todas estas investigaciones surgió del estudio de las integrales elípticas, pero se convirtió íntimamente conectado con la invención de la topología algebraica, el desarrollo de análisis complejo (por Riemann y, a continuación, Schwarz, y entonces el teorema de uniformización), el desarrollo de la geometría hiperbólica; básicamente todos las matemáticas fundamentales del siglo 19, que luego condujo a gran parte de los acontecimientos del siglo 20 en matemáticas.

Las conexiones con la aritmética, también se observaron a principios de. Jacobi ya introducido theta de la serie y vi la relación con el conteo de las representaciones por cuadráticas formas (por ejemplo, demostró que el número de maneras de escribir $n \geq 0$ como suma de cuatro cuadrados es igual a $\sum_{d | n, 4 \not\mid d} d$, usando el peso $2$ formas modulares en $\Gamma_0(4)$).

Pero Kronecker (y tal vez de Abel, de Eisenstein, e incluso de Gauss antes de él) también sabía que las formas modulares, cuando se evaluó en CM curvas elípticas (es decir, en cuadrática de los valores imaginarios de $\tau$) dio algebraica de los valores de número en algunos contextos. Gauss fue conducido a esta por la analogía con cyclotomy: $N$-torsión de una curva elíptica era análoga a $N$th raíces de $1$ sobre el círculo unidad, y la analogía es mayor cuando la curva elíptica tiene CM, porque entonces el $N$-torsión puntos de convertirse en un cíclico módulo sobre el anillo de la CMs, así como el $N$th raíces de $1$ son cíclicos en el módulo $\mathbb Z$ (es decir, un grupo cíclico).

Kronecker (y de nuevo, tal vez la gente antes que él) se dio cuenta de que CM curvas elípticas correspondía a las rejillas $\Lambda \subset \mathbb C$ que pertenecen a los ideales de las clases en cuadrática imaginario de los campos, y, entonces, vio una relación entre CM curvas elípticas y de la clase de teoría de campo para cuadrática imaginario campos (Kronecker del Jugendtraum). Esta también relacionado con el anterior trabajo sobre la evaluación de las formas modulares en CM de los puntos.

Todo esto es sólo para decir que incluso en el siglo 19, el tema era muy profundo, y ya muy conectado a la teoría de números, así como todo lo demás.

Ramanujan sabía la teoría muy bien, y descubrió nuevos fenómenos (por ejemplo, sus conjeturas sobre la behavious de $\tau(n)$, definido por $\Delta = q\prod_{n=1}^{\infty} (1- q^n)^{24} = \sum_{n=1}^{\infty} \tau(n) q^n$). Mordell demostrado Ramanujan la hipótesis en la multiplicativo de la naturaleza de la $\tau$, y Hecke presentó a sus operadores para sistematizar Mordell del método de prueba.

En este punto, el sujeto se mueve en un mayor representación-teórica y analítica de la dirección, con la generalización de automorphic formas. Con el descubrimiento en los años 50s, 60s, y 70s de la modularidad conjecure para curvas elípticas sobre $\mathbb Q$, e ideas afines, la media aritmética de la teoría de las formas modulares se convirtió en un tema central de nuevo. Ver esta respuesta en MO para más sobre esto.

Mazur del teorema de torsión puntos en curvas elípticas sobre $\mathbb Q$ es uno de los más profundos de los resultados que viene desde el pensamiento de $X_0(N)$ $X_1(N)$ directamente en modular términos. Pero ya las pruebas son más automorphic en la naturaleza, y se centran en las relaciones entre las formas modulares, particularmente Hecke eigenforms, y representaciones de Galois. Que es donde el moderno enfoque reside principalmente. Usted puede ver algunas de las otras respuestas enlazado desde mi página web (aquí) para obtener más información sobre eso.

Voy a cerrar este largo debate al decir que el paso a representaciones de Galois como un foco de atención es un desarrollo natural de Kronecker del Jugendtraum, sino que refleja un cambio de la atención de abelian campo de la clase de teoría para cuadrática imaginario campos no abelian (más precisamente, $\mathrm{GL}_2$) clase de teoría de campo para $\mathbb Q$. (Nota de que el ex incrusta en el último, ya que el indcution de un Galois carácter de una extensión cuadrática da una de dos dimensiones de la rep. de $G_{\mathbb Q}$.)

Por último, permítanme mencionar que el tema principal de Mazur del artículo es congruencias entre cuspforms y Eisenstein de la serie (esto es lo que los Eisenstein ideal de medidas), y así es difícil tener uno sin el otro. (En cierto sentido, de Eisenstein de la serie son como el trivial de Dirichlet carácter mod $N$, mientras que cuspforms son como la no-trivial de caracteres. Lo que es más importante, depende de lo que usted está haciendo; en muchos de los problemas que usted debe considerar tanto.)

Answer 2

Yo no tengo respuestas concretas a sus preguntas (algunas de estas podría ser mejor respondida por alguien con más de fondo en el complejo de la geometría), pero creo que puedo abordar algunos aspectos de la importancia de las formas modulares para la teoría de números.

Para entender, creo que un poco de perspectiva histórica siempre es bueno tener. Esto no es exactamente una respuesta directa, pero por favor tengan paciencia conmigo.

En su fundamental papel en la teoría algebraica de números, Riemann, expresó el "completado zeta función" $\Lambda(s) = \Gamma(s/2) \pi^{-s/2}\zeta(s)$ como la transformada de Mellin $(\theta(\tau)-1)/2$ , donde $\theta(\tau) = \sum_{n \in \mathbf Z} q^{n^2}$ ($q=e^{2\pi i \tau}$) es la definición de la integral de la theta de la función. Por la rápida convergencia de esta serie para $\text{Im} \tau > 0$, el theta función es holomorphic en la mitad superior del plano, y se desprende de la distribución de Poisson suma fórmula que $\theta(-1/\tau) = (-iq)^{1/2}\theta(q)$. Mediante el uso de esta ecuación funcional, Riemann demostró que $\Lambda(s)$ se extiende a un holomorphic de la función en $\mathbf C$ y satisface la ecuación funcional $\Lambda(s)=\Lambda(1-s)$.

Ahora $\theta$ es obviamente periódica de período de $1$, así que podemos ver que se transforma perfectamente en el subgrupo de $\text{SL}_2(\mathbf Z)$ generado por $\tau \mapsto \tau+1$$\tau \mapsto -1/\tau$. Como usted probablemente sabe, este subgrupo mapas isomorphically en $\text{PSL}_2(\mathbf Z)$. Así vemos que $\theta$ es una forma modular de peso $1/2$ para el modular del grupo, con el extra de "carácter" $\chi\left(\begin{matrix} a & b\\ c & d\end{matrix}\right) = (-i)^{c/2}$.

En el $19^{th}$ siglo, siguiendo el trabajo pionero de Euler y Fagano en la transformación de las propiedades de las integrales elípticas, matemáticos, dirigido por Weierstrass y Jacobi, estudió curvas elípticas sobre $\mathbf C$. Era bien entendido de que estos objetos podrían ser pensado como suave proyectiva cúbicas $\mathbf C$ o tan complejo tori de dimensión $1$. Durante este período, la primera de las formas modulares de peso integral fueron descubiertos en las "invariantes" de curvas elípticas sobre $\mathbf C$.

Poincaré fue el primero en considerar seriamente curvas elípticas sobre $\mathbf Q$. Poincaré conjeturó que si $E/\mathbf Q$ es una curva elíptica, a continuación, $E(\mathbf Q)$ es un finitely generado abelian grupo. Algunos ejemplos de esto ya había sido suministrado, sin saberlo, por Fermat. Se ha comprobado que algunos años más tarde por Mordell y, finalmente, para curvas elípticas sobre cualquier campo de número por Weil.

Weil, en 1949, formuló sus famosas conjeturas acerca de las funciones zeta de suave variedades algebraicas sobre campos finitos, y probó con ellos en el caso de las curvas. Este led de Hasse para definir la función zeta de una suave algebraicas variedad de más de $\mathbf Q$, y, en particular, de una curva elíptica. Para una curva elíptica $E/\mathbf Q$, definió $L(E, s)$, de la siguiente manera: mediante la reducción de $\mod p$ un modelo integral de $E$ para cada uno de los prime $p$ no dividiendo $\Delta(E)$, obtuvo una curva elíptica sobre $\mathbf F_p$ por cada $p$; en él se definen $L_0(E, s)$ como el producto de los locales zeta funciones evaluadas en $p^{-s}$. Él conjeturó la convergencia de este producto para $\text{Re }s > 3/2$, y la conjetura de un funcional de la ecuación. Para curvas elípticas con complejo de multiplicación, él fue capaz de demostrar esta conjetura fundamentalmente por la clase de teoría de campo de más de un imaginario cuadrática campo. Esta prueba, como la de Riemann, una vez más involucrados formas modulares de media de peso integral.

(Hasse era consciente, sin embargo, que su $L$-función era la falta de factores de los números primos dividiendo $\Delta$. Es sólo con la obra de Grothendieck y su escuela que la falta de los factores que podría explicarse, por la interpretación de los $L(E,s)$ como el Artin $L$-función de la $\mathcal l$-ádico cohomology de $E$.)

En los años cincuenta y sesenta, Shimura, Taniyama y Weil conjeturó que el $L$-función de cualquier curva elíptica sobre $\mathbf Q$ debe provenir de una forma modular. Más precisamente, se conjeturó que, dada una curva elíptica de director de orquesta $N$, existe un Hecke newform $f$ peso $2$ y el nivel de $N$ tal que $L(E, s) = L(f, s)$. Si eso fuera cierto, entonces la continuación analítica y funcional de la ecuación de $L(E,s)$ seguiría directamente de la de $f$, en el mismo espíritu de Riemann de la prueba. Este es el célebre teorema de Wiles, Breuil, Conrad, Diamante y Taylor, de los cuales el último teorema de Fermat es una consecuencia.

Eichler y Shimura siempre una construcción que va en la otra dirección - es decir, dado un Hecke eigenform de peso $2$ y el nivel de $N$, se construyó una curva elíptica sobre $\mathbf Q$ tal que $L(E,s) = L(f, s)$ (todos los que encontraron esta curva se encuentra dentro de la variedad Jacobiana de $X_0(N)$).

Desde el Hasse-Weil $L$-en función de una curva elíptica sobre $\mathbf Q$ sólo depende de su isogeny de clase, hay una correspondencia

$$\{E/\mathbf Q \text{ an elliptic curve of conductor $N$}\}/{\text{isogeny}} \cong \{\text{normalized newforms in $S_2(\Gamma_0(N))$}\}.$$

Desde $S_2(\Gamma_0(N)) \cong \Omega^1(X_0(N))$ por el mapa $f \mapsto f \: d\tau$, el género de $X_0(N)$ es, como máximo, igual al número de isogeny clases de curvas elípticas sobre $\mathbf Q$ de los conductores $N$. Por ejemplo, cuando $N=1$, $X_0(1) \cong \mathbf P^1$, así que no hay curvas elípticas de director de orquesta $1$ (ya no tan trivial hecho).

Así que incluso si nos limitamos a las formas de peso $2$$\Gamma_0(N)$, hay un par de cientos de años de matemáticas para ser aprendido. Muchas, muchas cosas para decir.

De hecho, se puede demostrar que el sistema modular de la curva de $X_0(N)$ admite un modelo suave sobre $\mathbf Z[1/n]$ (y en particular a través de la $\mathbf Q$). Este debería ser un hecho sorprendente - y, de hecho, la curva de $X_0(N)$ se define inicialmente $\mathbf C$, es decir, es una superficie de Riemann, y no hay ninguna razón a priori por qué debe admitir un modelo de más de $\mathbf Q$ (en otras palabras, el functor de curvas suaves $\mathbf Q$ a las superficies de Riemann es ni completo ni esencialmente surjective). Este extra dado por Dios aritmética de los datos es lo que hace que estos objetos tan rica y fascinante (la paz sea con sus Noodly Apéndice).

De todos modos - que es sólo un poco de lo que podemos decir. Si quieres una buena lectura, te recomiendo Puntos Racionales Modular de Curvas Elípticas por Henri Garmon. Estoy leyendo a través de mí mismo y comparto tu fascinación!

Answer 3

Unos breves comentarios sobre sus tres preguntas.

1. Por qué la atención acerca de todas las formas modulares y no sólo, por ejemplo, la cúspide de las formas? Bueno, ¿por qué en el análisis real hacemos uso de todos los números reales si, en la práctica, muy pocos de ellos son realmente de interés directo (no tantos clásicos trascendental constantes vienen para arriba, apenas $\pi$, $e$, la constante de Euler,$\Gamma(1/4)$,...)? La respuesta es que tenemos toda la línea real de obtener una gran cantidad de la maquinaria de análisis real para trabajar. Del mismo modo, incluso si en última instancia, puede que se preocupan más sobre la cúspide de las formas que otras formas modulares, la cúspide formas son bastante sutiles objetos y por lo general es más fácil para escribir ejemplos de formas modulares primera que no necesariamente puede ser la cúspide de las formas. Las diferencias de tales formas modulares pueden entonces resulta ser la cúspide de las formas, por lo que la medida de que es sutil para escribir la cúspide de las formas directamente, usted todavía puede obtener en algunos ejemplos de ellos el uso de otras formas modulares.

2. Ver Serre el artículo de "las formas Modulares de peso y representaciones de Galois" en el año 1977 Durham actas de la conferencia de la Teoría Algebraica de números (editado por Froehlich, pero tenga en cuenta que esto no es Cassels & Fröhlich).

3. Uno de los grandes teoremas sobre curvas elípticas sobre $\mathbf Q$ es Mazur del teorema de clasificación de todos los posibles subgrupos de torsión en $E({\mathbf Q})$. El teorema equivale a una descripción de los puntos racionales en ciertas curvas modulares, que se obtiene a través de la Jacobians de estas curvas. Una comprensión de la geometría de estos objetos es un requisito previo para la comprensión de los puntos racionales sobre ellos. (El trabajo de Kamienny y Merel en uniforme de acotamiento de torsión en curvas elípticas más general de los campos de número de una extensión de la Mazur del enfoque).

Answer 4

Bien, vamos a conocer un montón de lugares donde se muestran geometría, combinatoria, la luz de la luna, ... pero no creo que sabemos que "la gran imagen" todavía. Hay un montón de estructura esperando a ser descubiertos.

Mira Zagier el trabajo de meromorphic las formas modulares, lo cual llevó a bringmann o-Ono para Maass formas. No un montón de peso-2 cuspforms allí.

Ono libro es también digno de una mirada.

Answer 5

No estoy seguro de si yo hablo desde el mismo punto de vista como que hacer cuando miro a estos objetos de la analítica de lado y no en el geométrica lado, pero hay un montón de número teórico de la información. Aquí hay dos ejemplos que puedo pensar de la parte superior de mi cabeza.

Los Coeficientes De Fourier

Muchas de las formas Modulares de la mitad de peso o de peso integral tienden a tener los coeficientes de Fourier que han significado en la teoría de números. Tres ejemplos que puedo pensar de la parte superior de mi cabeza son $\eta(\tau),$ $ E_k(z),$ y $\theta(\tau).$ La función de $q^{1/24}/\eta(\tau)$ cuenta entero particiones, $E_k(z)$ cuenta divisores, y $\theta(\tau)^k$ calcula el número de maneras en que un número entero se puede escribir como una suma de cuadrados.

El solo hecho de tener información sobre estas funciones, se pueden calcular aproximan o incluso exacto fórmulas para el número teórico de funciones, probar multiplicitivity de cierto número teórico de funciones ($\tau(n)$ viene a la mente), y calcular congruencias.

Continuación analítica de Dirichlet de la Serie

El Mellin transformar construye un bijection entre `Agradable" de Dirichlet de la serie y Serie de Fourier. Cuando la serie de Fourier en cuestión es una forma modular, la de Dirichlet de la serie en cuestión tiene una ecuación funcional. Ejemplo más famoso de esto es $\zeta(s)\to \theta(z).$ El hecho de que $\zeta(s)$ tiene un funcional de la ecuación es equivalente a la transformación de $\theta(z).$