Así, $$\lim_{A\rightarrow \infty}\int^A_1 \frac{\ln x}{x} dx = \infty$ $ todo bien.
Pero, si se toma el volumen de revolución de la curva, girada alrededor de los radianes de #% de $x$ eje %#%, $2\pi$ $1$, el volumen sigue siendo finito como $A$ (enfoques $A \rightarrow \infty$): $2\pi$ $
Bastante cool el resultado, puede alguien ayudarme a conseguir mi cabeza alrededor de esto intuitivamente? ¿Asumir un área infinito girado alrededor del eje x produciría un volumen infinito... correcto?
Sí, se consideró que esto era bastante extraño fenómeno cuando Torricelli construyó por primera vez un ejemplo en 1643. (Torricelli mismo pareció tan increíble que ofreció dos diferentes pruebas de que el volumen de su forma era finito, lo mejor para convencer a sí mismo y al lector).
Creo que hay dos principales obstáculos mentales que uno debe conquistar con el fin de debilitar la impresión de que esto es paradójico:
Una infinita secuencia de los positivos números pueden tener finito suma.
Los volúmenes de revolución con el mismo finito de área de sección transversal puede tener como grande o pequeño volumen como desee.
El primero de estos ha ocupado las mentes desde Zenón de paradojas. La mayoría de nosotros son finalmente capaces de llegar a una especie de paz con él, si sólo por bludgeoning nosotros mismos, con los muchos ejemplos de ello.
Para el segundo, basta con comparar los volúmenes de los cilindros que se obtiene por la rotación de un rectángulo de área de la unidad alrededor de uno de sus lados. Los lados del rectángulo es de $a$ $\frac1a$ algunos $a$, y el cálculo de su volumen obtenemos $\pi a^2\cdot\frac1a = \pi a$ que podemos hacer cualquier cosa que queramos, sólo por la elección de $a$ adecuadamente. Lo que pasa es que una pequeña pieza de área cerca del eje de rotación contribuye menos volumen que el mismo área de más lejos, de modo que por la elección de un rectángulo largo y delgado, que abraza el eje del bien, podemos hacer que el volumen tan pequeño como queramos.
Poniendo estos dos juntos: Elegir una serie convergente de números positivos $$ b_1 + b_2 + b_3 + \cdots = c < \infty$$ y para cada una de las $b_i$ elegir el cilindro con un volumen de $b_i$ y el área transversal de la $1$. Pila de estos cilindros, una después de la otra, y se obtiene una infinitamente larga volumen de revolución con infinita, de sección transversal pero finito de volumen, es decir,$c$.
Este no es quizás tan hermosa como su suave $\frac{\log x}{x}$, pero es sin duda más fácil envolver su cabeza alrededor, porque uno sólo necesita tratar con discretos de la serie en lugar de continuos integrales.
Sí, es un ejemplo que muestra que nosotros no puede asumir que '' un área infinito girado alrededor del eje x produciría un volumen infinito ''.
Intuitivamente esto es porque el área se va al infinito porque va de $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ $0$ muy lentamente, pero va de volumen $f^2(x)=\left(\frac{\ln x}{x}\right)^2$ $0$ más rápidamente.
Asumirás una infinita área de rotar alrededor del eje x, se produciría un volumen infinito... ¿verdad?
Desde que pidió la intuición, he aquí una no-técnico de la intuición para Gabriel Horn (una más simple, pero en esencia el mismo, caso):
Al integrar para obtener el área, estás sumando un montón de vertical de las líneas, más o menos. Llame a la altura en $x$ radio $r(x)$. Al integrar para obtener el volumen, estás sumando un montón de círculos, cada uno de área proporcional a $r(x)^2$. Luego de recordar que, mientras que $1/x$ es una secuencia divergente, $1/x^2$ es convergente.
En resumen, el área de los círculos a los que estamos sumando para el volumen se reduce más rápido que sus radios estás sumando para la zona, porque para los grandes $r$, $1/r~~>~~1/r^2$.
Vamos a considerar una geometría simple. El área de la sección transversal y el volumen de un cilindro.
El volumen de un cilindro es $\pi r^2 h$ donde $r$ es el radio y $h$ es la longitud o la altura del cilindro. Vamos a corregir el volumen en $\pi r^2h=1$ o $h=\frac1{\pi r^2}$.
Ahora, el área de sección transversal está dada por $2rh=\frac2{\pi r}$. Como un resultado, como podemos elegir $r$ tan pequeño como queramos, podemos hacer que el área de sección transversal tan grande como queramos. Esto no cambia el volumen.
El resultado en la pregunta, funciona de forma similar, simplemente se evita el problema del límite en el infinito (si se toma el límite de $r\to\infty$, usted termina con una línea en lugar de un cilindro) por tener la radio varían a lo largo de ella.
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