Integral de bucle con Feynman ' truco s

Question

Estoy tratando de mostrar el bucle integral con tres difusores con diferentes interna de masas $m_1$, $m_2$, $m_3$, y todos los off-shell externo momenta $p_1$, $p_2$, $p_3$ la siguiente fórmula que aparece en 't Hooft(1979), Bardin (1999), Denner (2007): (lamentable métrica $-,+,+,+$)

$$\int d^d p\frac{1}{(p^2+m_1^2)((p+p1)^2+m_2^2)((q+p_1+p_2)^2+m_3^2)} $$ $$=i\pi^2\int_0^1dx\int_0^xdy\frac{1}{ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f}$$

donde $a$, $b$, $c$, ... son los coeficientes según el momenta de la siguiente manera:

$a=-p_2^2$,

$b=-p_1^2$,

$c=-2p_1.p_2$,

$d=m_2^2-m_3^2+p_2^2$,

$e=m_1^2-m_2^2+p_1^2+2(p_1.p_2)$,

$f=m_3^2-i\epsilon$.

Yo realmente no se preocupan acerca de los factores en fromt como $i\pi^2$. Mi problema simple es: yo soy totalmente incapaz de reproducir los coeficientes de $d$, $e$ y $f$. El problema es que, cuando me integrar más de la tercera Feynman parámetro, $m_3$ aparece en los tres coeficientes $d$, $e$ y $f$. ¿Cómo puedo apretar los denominadores para reproducir esta fórmula?

Answer 1

Definir el lado izquierdo de la ecuación anterior:

$$I=\int d^d q\frac{1}{(q^2+m_1^2)((q+p_1)^2+m_2^2)((q+p_1+p_2)^2+m_3^2)}$$

El primer paso es apretar los denominadores uso de Feynman del truco:

$$I=\int_0^1 dx\,dy\,dz\,\delta(1-x-y-z)\int d^d q\frac{2}{[y(q^2+m_1^2)+z((q+p_1)^2+m_2^2)+x((q+p_1+p_2)^2+m_3^2)]^3}$$

El cuadrado de $q^2$ puede ser completado en el denominador por expansión:

$$[\text{denom}]=q^2+2q.(z p_1+x(p_1+p_2))+y m_1^2+z (p_1^2+m_2^2)+x(m_3^2+(p_1+p_2)^2)$$ $$=q^2+2q.Q+A^2\,$$

donde$Q^\mu=z p_1^\mu+x(p_1+p_2)^\mu$$A^2=y m_1^2+z (p_1^2+m_2^2)+x(m_3^2+(p_1+p_2)^2)$, y por el cambio de el impulso, $q^\mu=(k-Q)^\mu$ como un cambio de integración de las variables. Tras realizar la $k$ integral, nos quedamos con las integrales sobre Feynman parámetros (porque esta integral tiene tres propagadores, es UV finito):

$$I=i\pi^2\int_0^1 dx\,dy\,dz\,\delta(1-x-y-z)\frac{1}{[-Q^2+A^2]}$$

Ahora se integran más de $z$ con la ayuda de la delta de Dirac:

$$I=i\pi^2\int_0^1 dx\int_0^{1-x}dy \frac{1}{[-Q^2+A^2]_{z\rightarrow1-y-z}}$$

Para llegar a la RHS de la OP de la ecuación(que es la parte que se me olvidó), hacemos un último cambio de variables: $x=1-x'$:

De modo que el denominador se lee $ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f$, con los coeficientes $a,b,c,\ldots$ exactamente definido en la pregunta del OP. Observe el cambio en el intervalo de integración en $y$.

$$I=i\pi^2\int_0^1dx\int_0^xdy\frac{1}{ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f}$$