¿Cuando se utiliza un esquema de axioma, estamos implícitamente utilizando un principio de elección?

Question

He oído un argumento interesante de un colega recientemente que fue algo como esto. Cuando estamos utilizando un axioma esquema, son esencialmente la elección de una de las instancias de este esquema, y por lo tanto, si podemos o no incluir el axioma de elección en nuestros axiomas, estamos implícitamente el uso de algún tipo de principio de elección para elegir a esa instancia. Mi sensación es que este argumento parece sospechoso, pero también muy interesante, y me falta la experiencia necesaria para dar una buena respuesta.

Mi pregunta es si este argumento es o no, y si se hace una diferencia si el axioma esquema es incontable. Me doy cuenta de que la pregunta es un poco vago, pero espero que no pueden ser algunas respuestas interesantes de todos modos.

Answer 1

El principal problema aquí es que el nombre de "Axioma de Elección" lleva a la gente a pensar que el axioma dice algo acerca de nuestra capacidad para elegir las cosas. Entonces, cada vez que elegimos algo, como una instancia de un axioma esquema, que piensan que el axioma de elección está involucrado.

El axioma de elección no es acerca de nuestras capacidades. Es acerca de la existencia de ciertos conjuntos. Específicamente, dado cualquier familia $F$ de pares disjuntos no vacíos conjuntos, el axioma de elección afirma la existencia de un conjunto $C$ que tiene exactamente un miembro en común con cada uno de los conjuntos de la familia $F$.

Si vamos a tratar de construir un $C$, entonces debemos elegir un elemento de cada uno de los conjuntos en $F$. Pero no es necesario para nosotros para construir $C$, ni el axioma de pretender que podríamos construir $C$. El axioma dice que ese $C$ existe. Es todo sobre el universo de los conjuntos, no se trata de nuestras habilidades o actividades.

Answer 2

Su colega no está utilizando el término "principio de elección" con el sentido técnico que tiene es que la teoría de conjuntos; probablemente él no es consciente de que esas palabras tienen un técnico especializado significado, pero que ha escuchado (o leído) de los argumentos que se usan y trató de reconstruir su significado a partir del diario inglés que significa "elección". Que no van bien.

En el conjunto de la teoría de la "elección" el principio es un poco borrosa, pero, sin embargo, esencialmente término técnico para una declaración de que

1. Tiene una premisa para el formulario "para cada $y$ con tal-y-tal de la propiedad hay al menos un $x$ que está relacionado con a $y$ en tal y tal manera"; y

2. Se concluye que existe un objeto dentro del conjunto teórico universo que simultáneamente codifica una elección de una determinada $x$ para cada uno de muchos (pero no necesariamente todas, dependiendo del principio de elección de la que estamos hablando) de los $y$s.

En otras palabras, hacer uso de un principio de elección debemos ya saben que es posible tomar decisiones individuales para cada una de las $y$. Los principios que dice que se puede envolver muchas de esas decisiones como un único objeto. Ser capaces de hacerlo es técnicamente necesaria para formalizar algunas natural-sensación de argumentos en la teoría de conjuntos axiomática, debido a la forma de la lógica formal suele ser establecido. Pero no tiene profunda y filosófica consecuencias fuera de los usos técnicos.

Lo que su colega habla parece ser más que el hombre que escribe una prueba elige cómo su prueba se va a ir. Y que puede ser perfectamente "elección" en el sentido del inglés cotidiano, simplemente no tiene nada que ver con la técnica de las proposiciones que establecen los teóricos de la llamada elección de los principios.

Answer 3

No, elección es irrelevante aquí.

En primer lugar, como su lenguaje es contable, hay solamente contable muchas fórmulas, así que en particular el conjunto de fórmulas es bien ordenado y ninguna opción es necesario seleccionar uno.

Lo más importante, sin embargo, las pruebas son finitas: incluso si permitimos innumerables idiomas, sólo necesitamos hacer finito muchas opciones, y esto no usa CA, independientemente de lo complicado del lenguaje es.

Answer 4

No, esto refleja una total incomprensión de lo que el axioma de elección. El axioma de elección no es la más necesaria para invocar una instancia de un axioma esquema de lo que se necesita para decir que $43$ es un número natural (después de todo, que es también "la elección de un" elemento de un conjunto infinito). En casi todas las situaciones donde se usa una instancia de un axioma esquema, especifique la instancia que está utilizando. En principio, el axioma de elección podría ser utilizado en algunas argumento complicado donde no son constructivamente la afirmación de la existencia de una colección infinita de pruebas diferentes en una multitud de idiomas, y en cada uno de ellos tiene que elegir un indeterminado instancia de un axioma esquema. En la práctica, nunca he visto un argumento y una cosa está muy alejado de lo que normalmente se entiende por "uso de un axioma esquema".

Answer 5

El axioma de elección no se invoca al elegir una instancia de un esquema de axioma. Seleccione un elemento de un conjunto infinito. El axioma de elección se refiere a elegir un conjunto infinito. Si $\{A_\alpha\}$ es una colección infinita de conjuntos distintos, el axioma de elección nos permite a un elemento de cada conjunto.