¿Cómo calculo la ecuación de un círculo dados 3 números complejos?

Question

Dados tres valores complejos (por ejemplo, $2i, 4, i+3$ ), ¿cómo calcularías la ecuación del círculo que contiene esos tres puntos? Sé que tiene algo que ver con la relación cruzada de los tres puntos y $z$ y el hecho de que la relación cruzada es un número real, pero no sé qué hacer con esa información.

Answer 1

También podría dar un poco de cuerpo a los comentarios de Theo...

Si tiene cuatro puntos $z_i,\quad i=1\dots4$ en la siguiente configuración:

la relación cruzada de estos cuatro puntos es

$$\Delta=\frac{z_1-z_3}{z_1-z_4}\left(\frac{z_2-z_3}{z_2-z_4}\right)^{-1}$$

Si $\Delta$ es real, esto significa que

$$\arg\left(\frac{z_1-z_3}{z_1-z_4}\right)-\arg\left(\frac{z_2-z_3}{z_2-z_4}\right)=0$$

Interpretados geométricamente, los ángulos $\angle z_3 z_1 z_4$ y $\angle z_3 z_2 z_4$ son congruentes y, por tanto, deben ser ángulos inscritos en una circunferencia; es decir, los cuatro puntos son cíclicos.

Si dejamos que $z_4$ sea un punto variable $z$ trazando el círculo y $\Delta$ sea un parámetro variable, obtenemos una ecuación para el círculo a través de $z_1,z_2,z_3$ :

$$\Delta=\frac{z_1-z_3}{z_1-z}\left(\frac{z_2-z_3}{z_2-z}\right)^{-1}$$

Resolver para $z=x+iy$ da

$$z=\frac{z_2(z_1-z_3)-z_1(z_2-z_3)\Delta}{z_1-z_3-(z_2-z_3)\Delta}$$

que como dice Theo es una transformación de Möbius. Tomando partes reales e imaginarias y eliminando $\Delta$ debería dar lugar a una ecuación cartesiana. (Obtener el centro y el radio de esta circunferencia es un poco complicado y se deja como un ejercicio de manipulación algebraica).

Answer 2

"También podría ser carne" Comentario de @Dinesh.

Esta solución utiliza manipulaciones algebraicas y la consideración de la geometría de las figuras. [Una solución más concisa podría aprovechar la formalidad de los vectores].

La solución es la ecuación de la forma (x-h)^2+(y-k)^2=r^2, donde damos los valores de los 3 parámetros, h, k y r.

En primer lugar, convertimos a coordenadas cartezianas:

2i -> (0,2)
4 -> (4,0)
i+3 -> (3,1)

1 -- Para encontrar el centro de la circunferencia (h,k), necesitamos las ecuaciones de dos rectas que sean bisectrices perpendiculares de dos lados cualesquiera del triángulo implícito anterior. La intersección de estas rectas es el centro de la circunferencia.

2 -- Una bisectriz perpendicular tendrá una pendiente, M, de -1/m, donde m es la pendiente del lado correspondiente del triángulo. Obtenemos la pendiente de un lado, m, fácilmente a partir de los dos puntos dados para ese lado. También podemos obtener fácilmente un punto, P, en la bisectriz perpendicular: el punto medio del lado del triángulo. Con un punto y una pendiente tenemos esencialmente las ecuaciones de la recta que necesitamos.

3 -- Para obtener la longitud del radio, r, calculamos la distancia entre el centro de la circunferencia y cualquiera de los puntos de la misma.

Las bisectrices de los lados de un triángulo se cruzan en el centro de la circunferencia que lo circunscribe. La demostración es fácil, ya que observamos que cada punto a lo largo de una de estas bisectrices perpendiculares está a una distancia equidistante de cada uno de los dos puntos que forman los extremos del lado del triángulo correspondiente. Por tanto, el centro de esta circunferencia (al ser la intersección de estas bisectrices perpendiculares) tiene la propiedad de que equidista de cada uno de los 3 puntos, es decir, es una circunferencia circunscrita. Obsérvese que dados 3 puntos cualesquiera, existe un único triángulo implícito en ellos (por lo que podemos utilizar el argumento de la bisectriz perpendicular para concluir que existe una única circunferencia).

Ahora, los cálculos clave:

2:

m_1 = (0-1)/(4-3) = -1
m_2 = (2-1)/(0-3) = - 1/3
M_1 = -1/(-1) = 1
M_2 = -1/(-1/3) = 3
P_1 = ( (4+3)/2 , (0+1)/2 ) = (7/2,1/2)
P_2 = ( (0+3)/2 , (2+1)/2 ) = (3/2,3/2)

1:

EQN_1

P_1y = (M_1)(P_1x) + B_1
1/2 = (1)(7/2) + B_1
B_1 = -3

Y = X - 3

EQN_2

P_2y = (M_2)(P_2x) + B_2
3/2 = (3)(3/2) + B_2
B_2 = -3

Y = 3X - 3

Intersección

X - 3 = 3X - 3
X = 0

Y = (0) - 3
Y = -3

Por lo tanto, h = 0 y k = -3

3:

Podemos calcular la distancia de (h,k) a (0,2)

r = sqrt [ (0 - 0)^2 + (-3 - 2)^2 ]
r = 5

Más concretamente, la ecuación del círculo es:

(x)^2 + (y + 3)^2 = 25

Answer 3

Esto me ha funcionado en python:

def three_point_circle(z1,z2,z3):
    a = 1j*(z1-z2)
    b = 1j*(z3-z2)
    if a.real:
        m1 = a.imag/a.real
        c = (z1-z2)/2
        p1 = z2+c
        b1 = p1.imag-m1*p1.real
    if b.real:
        m2 = b.imag/b.real
        d = (z3-z2)/2
        p2 = z2+d
        b2 = p2.imag-m2*p2.real
    if a.real and b.real:
        x = (b2-b1)/(m1-m2)
        y = (m2*b1-m1*b2)/(m2-m1)
    elif a.real:
        x,y = 0,b1
    elif b.real:
        x,y = 0,b2
    else:
        x,y = 0,0
    center = x+1j*y
    radius = abs(center-z1)
    return x,y,radius

En un script que subí aquí:

https://github.com/peawormsworth/tools/blob/master/three_point_circle/three_point_circle.py

Para producir imágenes como éstas:

Actualización: No he probado los casos especiales de este código. Pero quizás si los puntos están en una línea, el círculo también lo está y los radios son irrelevantes.