De torsión en la homología o fundamental grupo de subconjuntos de euclidiana 3-espacio

Question

He aquí un problema que me he encontrado entretenida.

Es posible encontrar un subconjunto de 3-dimensional en el espacio Euclidiano de tal forma que su homología de grupos (coeficientes enteros) o uno de sus grupos fundamentales contiene un elemento de orden finito?

Contexto: El análogo pregunta tiene una respuesta negativa en la dimensión 2. Este es un teorema de Eda (1998). En la dimensión 4 y superior, la respuesta es positiva ya que el real proyectiva del plano incrusta. Si el subconjunto de un espacio de 3 dimensiones tiene un regular barrio con un suave límite, una pequeña de 3-colector de teoría dice que el grupo fundamental y la homología de grupos de torsiones.

edit: Debido a Richard Kent comentario y el debate, la torsión en la homología se ha descartado siempre el subconjunto de $\mathbb R^3$ es compacto y tiene la homotopy-tipo de un CW-complejo (más precisamente, si Cech y singular cohomologies de acuerdo).

Answer 1

No creo que

torsión en la homología se ha descartado

Sin duda, la torsión en Cech cohomology ha sido descartado para un subconjunto compacto. La "costumbre" universal coeficiente de la fórmula, en relación Cech cohomology a $\operatorname{Hom}$ $\operatorname{Ext}$ de Steenrod homología, no es válido para la arbitraria de subconjuntos compactos de $\Bbb R^3$ (aunque es válido para ANRs, posiblemente no compacta). El "invertido" universal coeficiente de la fórmula, en relación Steenrod homología a $\operatorname{Hom}$ $\operatorname{Ext}$ de Cech cohomology es válido para compact métrica espacios, pero esto no ayuda, porque $\operatorname{Ext}(\Bbb Z[\frac1p],\Bbb Z)\simeq\Bbb Z_p/\Bbb Z\supset\Bbb Z_{(p)}/\Bbb Z$, que contiene $q$-torsión para todos los números primos $q\ne p$. (Aquí se $\Bbb Z_{(p)}$ indica la localización en el prime $p$, e $\Bbb Z_p$ indica el $p$-ádico enteros. Los dos UCFs se puede encontrar en Bredon la Gavilla de la Teoría, 2ª edición, la ecuación (9) en la p.292 en la Sección V. 3 y el Teorema V. 12.8.)

El comentario de $\operatorname{Ext}$ puede convertirse en un ejemplo real. El $p$-ádico de solenoide $\Sigma$ es un subconjunto de a $\Bbb R^3$. El cero de Steenrod homología $H_0(\Sigma)$ es isomorfo por la dualidad de Alexander $H^2(\Bbb R^3\setminus\Sigma)$. Este es un cohomology grupo de $3$-colector contenida en $\Bbb R^3$, sin embargo, es isomorfo a $\Bbb Z\oplus(\Bbb Z_p/\Bbb Z)$ (el uso de la UCF, o la Milnor breve secuencia exacta con $\lim^1$), que contiene la torsión. Por supuesto, cada cocycle en representación de la torsión se "fuga", es decir, su restricción para cada compacto submanifold es nulo cohomologous dentro de ese submanifold.

Por similares argumentos, $H_i(X)$ (Steenrod homología) no contiene ninguna de torsión para $i>0$ para cada subconjunto compacto $X$$\Bbb R^3$.

Es obvio que el "Cech homología" no contiene torsión (incluso para un noncompact subconjunto $X$$\Bbb R^3$), debido a que es el límite inversa de la homología de grupos de poliédricas barrios de $X$$\Bbb R^3$. Pero no creo que esto es para ser tomado en serio, porque "Cech homología" no es una homología de la teoría (no cumple con la secuencia exacta de par). La homología de la teoría correspondiente a Cech cohomology es Steenrod de homología (que consiste en "Cech homología", además de una $\lim^1$-término de corrección). Algunas referencias para Steenrod homología son Steenrod del documento original en Ann. De matemáticas. (1940), Milnor de 1961 preprint (publicado en http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/libros/novikov1.pdf), Massey el libro de Homología y Cohomology de la Teoría. Un Enfoque Basado en Alexander-Spanier Cochains, Bredon del libro Gavilla Teoría (siempre y cuando el haz es constante y ha finitely generados de los tallos) y este papel http://front.math.ucdavis.edu/math/0812.1407

Como para torsión en singular, $4$- homología de la Barratt-Milnor ejemplo, esta es una pregunta acerca de enmarcado de la superficie de enlaces en $S^4$ (ver la demostración del teorema 1.1 en los enlaces de papel).

Answer 2

Creo que su subconjunto de R ^ 3 debe ser bastante feo para tener una oportunidad de luchar. Si es un subpolyhedron compacto de R ^ 3, a continuación, por Alexander dualidad su k-homología es lo mismo que (2-k) cohomology -dimensional de un 3-colector abierto. El único caso interesante es k = 1 porque 0th (co) homología es libre de torsión, pero si el colector abierto es equivalente homotopy a un complejo finito entonces por los coeficientes universales 1ª cohomología es libre de torsión. Esto deja fuera a todos los ejemplos de "buenas".

Answer 3

Vamos a suponer que el subconjunto es compacto.

Entonces, si se utiliza Cech cohomología, Alexander dualidad se convierte esto en una pregunta sobre el complemento, que es una 3-variedad.

Por lo tanto, yo responder con otra pregunta: ¿Puede un (salvaje) subvariedad abierta de la esfera 3 de torsión tienen en su homología? (Mi conjetura es que no. Pero entonces no estoy RH Bing.)

Answer 4

No es la Barratt-Milnor 1962 ejemplo de "anómala (singular) homología", mostrando que el racional singular homología de el punto de unión de $X$ de countably muchas esferas $S^2$ con el radio tiende a $0$ es distinto de cero en todas las dimensiones de la $>1$ (y es, de hecho, innumerables). Que el uso de Hurewicz mapas y las infinitas sumas de Whitehead productos de los elementos de homotopy grupos de esferas, pero no veo si torsión en mayor $\pi_i(S^2)$ podría dar torsión en $H_*(X,Z)$.