Combinación de dividir los elementos en pares

Question

Aquí está el problema:

Supongamos que hay un grupo de 12 personas. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden dividir las 12 personas en seis pares?

La respuesta se supone que es $\frac{12!}{2^{6} 6!}$, pero lo que me sale es $\binom{12}{2} \binom{10}{2} \binom{8}{2} \binom{6}{2} \binom{4}{2} \binom{2}{2} = \frac{12!}{2^{6}}$.

Podría alguien explicar ¿por qué es necesaria la parte factorial? Creo que se relaciona con el 6! posibles permutaciones de las parejas, pero ¿por qué es relevante?

¡Gracias!

Answer 1

Hay otras maneras de contar que suponen menos de la maquinaria. Por ejemplo, imagina que has forrado de las personas en una fila, por la altura, o el número de estudiante, lo que sea.

Mira la primera persona en la fila. Su pareja puede ser elegido en $11$ maneras. Para cada una de estas maneras de pensar acerca de la primera persona en la fila que aún no ha sido asociado. Ella ha $9$ candidatos para una pareja. Así que los dos primeros partnerings se puede hacer en $11 \times 9$ maneras.

Para cada una de estas formas, mira en la primera persona en la fila que aún no tiene un compañero. Su pareja puede ser elegido en $7$ maneras. De continuar. Nos encontramos con que el número de maneras de dividir el grupo de $12$ a $6$ pares es $$11\times 9\times 7\times 5\times 3\times 1$$ (el $1$ al final está ahí para hacer las cosas más lindas).

La respuesta anterior es, por supuesto, numéricamente exactamente el mismo que el $\frac{12!}{2^{6}6!}$ menciona en su pregunta.

Puede que desee resolver también algunos estrechamente relacionados con los problemas. Por ejemplo, ¿cuántas maneras existen para dividir a $12$ personas en $4$ grupos de $3$ personas cada uno? El enfoque que se describe, y la que he descrito, cada generalizar muy bien. Si queremos dividir $13$ personas en $3$ grupos, dos de ellos con $4$ personas cada una y una con $5$, su tipo de enfoque es más fácil de utilizar de forma fiable.

Answer 2

Su respuesta a su pregunta es muy correctas, es porque de las permutaciones de los pares. Lo que fue calculado el número de maneras de elegir un par de 12 veces el número de maneras de elegir un par de 10, etc. -- pero que overcounts el número de maneras de dividir a la gente en pares. Por ejemplo, podría elegir Jane y John como el primer par y recoger a Alice y Alan como el segundo par, o viceversa, y usted está contando los distintos resultados aunque la pregunta sólo pregunta por el número de maneras de dividir en seis pares y no está interesado en el orden en que se elegían los pares. Usted tiene que compensar para que overcounting dividiendo por el número de órdenes en el que se podría haber elegido cualquier conjunto de seis pares, y que el número de permutaciones de seis objetos, que es $6!$.

Answer 3

El problema aquí está en la elección de n objetos de 2n objetos y, a continuación, la organización de ellos con el resto de los objetos de tal manera que el formulario único de pares. es decir, 2n C n Esta cuenta el número de maneras de seleccionar n objetos de 2n objetos. El resto de n pueden ser dispuestos en n! maneras.

Así, a menudo se le confunde que pensar en lo que hace esto (2n C n)n! los recuentos. Imaginar, tenemos 6 objetos. a,b,c,d,e,f sacamos a,b,c. Podemos pareja una con d,e,f , que es 3 y b con 2 y f con 1. que es 3! Por lo tanto, de esto sabemos que cada elemento que elegir (2n C n) tiene n! maneras de formar una pareja. Pero aquí está el fallo, en el Interior (2n C n) ya hemos contado para todos los posibles de n objetos que pueden ser seleccionados a partir de 2nobjetos. Por lo tanto (2n C n)n!, ESTO cuenta tanto para el GRUPO 1 {(un,d),(b,e),(c,f)} y el GRUPO 2 {(d,a),(e,b),(f,c)}. Aquí, los primeros elementos de los subconjuntos de la 1ª y la 2ª de Grupo han sido contados por (2n C n) y el segundo de los elementos de cada uno de los del grupo de subconjuntos es el mero arreglo de n!. Ahora, como podemos ver claramente el PRIMERO Y EL SEGUNDO de los GRUPOS son Equivalentes y NO la ÚNICA. Así que, por lo tanto, para quitar esta overcounting de 2 GRUPOS se dividen por 2! Y por lo tanto para cada una de la combinación tenemos 2! que se multiplica hasta (2!)^n para cada uno de los n elementos de los subconjuntos. Que conduce a la Única pares de 2n a n pares está dado por {(2n C n)n!}/(2!)^n