¿Es irreducible en $x^5 + x^3 + 1$$\mathbb{F}_{32}$ y $\mathbb{F}_8$?

Question

Problema:

¿Es irreducible en $f(x) = x^5 + x^3 + 1$$\mathbb{F}_{32}$ y $\mathbb{F}_8$?

Mi pensamiento:

$f(x)$ es irreducible en $\mathbb{F}_2$ y tiene grado de $5$. Por lo tanto podemos concluir que $\mathbb{F}_{32} \simeq \mathbb{F}_2[x]/f(x)$. Entonces al parecer $f$ no es irreducible en $\mathbb{F}_{32}$.

Pero no sé cómo trabajar en el caso $\mathbb{F}_8$. Sé que $\mathbb{F}_8 \simeq \mathbb{F}[x]/g(x)$ $g(x)$ Dónde está un polinomio irreducible de grado $3$ $\mathbb{F}_2 [x]$. Por ejemplo, puede ser $g(x) = x^3 + x + 1$. Pero, ¿cómo quisiera que me ayuden?

Answer 1

Deje $g(x)$ ser un factor irreducible de $f(x)$$\mathbb F_8$, lo $f(x)=g(x)h(x)$ algunos $h(x)\in\mathbb F_8[x]$. A partir de la inclusión de campos de $\mathbb F_2\rightarrow\mathbb F_8$ obtenemos una inclusión $\mathbb F_2[x]\rightarrow\mathbb F_8[x]$, dando un homomorphism $$\phi:\mathbb F_2[x]\rightarrow\mathbb F_8[x]/g(x).$$ Ahora $\phi(f(x))=g(x)h(x)+g(x)\mathbb F_8[x]=0+g(x)\mathbb F_8[x]$, lo $\phi$ induce un homomorphism $$\bar\phi:\mathbb F_2[x]/f(x)\rightarrow\mathbb F_8[x]/g(x).$$ Desde $f(x)$ es irreducible sobre$\mathbb F_2$$g(x)$$\mathbb F_8$, tenemos $$\mathbb F_2[x]/f(x)\cong\mathbb F_{32},\hspace{10 mm} \mathbb F_8[x]/g(x)\cong\mathbb F_{8^d}$$ donde $d=\deg g(x)$. Por lo tanto, $\bar\phi$ da un homomorphism $$\mathbb F_{32}\rightarrow\mathbb F_{8^d}.$$ En particular, $\mathbb F_{8^d}$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb F_{32}$, por lo que $$5=\log_2(32)\mid\log_2(8^d)=3d.$$ Por lo tanto $5|d$, lo $d\geq5$. Por lo tanto $f(x)$ debe ser un escalar varios de $g(x)$, y, en particular, $f(x)$ es irreducible sobre $\mathbb F_8$.

Answer 2

He aquí otro enfoque, basado en su buen comienzo. Se ha observado que $f$ $\Bbb F_2$- irreductible, y que, de hecho, $\Bbb F_{32}$ es su división de campo. En otras palabras, $f(x)=\prod_i(x-\alpha_i)$, donde el alpha son cinco elementos diferentes de $\Bbb F_{32}$. Si usted podría tomar menos de cinco de los factores arriba mencionados y multiplicar juntos para obtener un polinomio en $\Bbb F_8[x]$, a continuación, sus coeficientes sería en $\Bbb F_{32}\cap\Bbb F_8=\Bbb F_2$, en otras palabras, una adecuada $\Bbb F_2$-divisor de $f$. Por lo tanto, la única manera de multiplicar algunos de esos factores juntos para conseguir un $\Bbb F_8$-polinomio es de uso de todos ellos. Por lo $f$ $\Bbb F_8$- irreductible.