El artículo de Heisenberg deriva sus resultados a partir de una suposición que sólo se enuncia de forma oblicua en el artículo, y que es fundamental para todas las conclusiones. Esta suposición se explica más claramente en Wikipedia.
Heisenberg se ocupa de la órbita de un electrón en el átomo. Supongamos que esta órbita es precisa, de modo que el electrón tiene una posición en la m-ésima órbita de Bohr en función del tiempo es $X_m(t)$ . El movimiento es periódico, por lo que se puede transformar de Fourier este movimiento para obtener una serie de Fourier para la posición del electrón
$$ X(t) = \sum_n e^{in\omega t} X_{mn} $$
La cantidad $X_{mn}$ es el n-ésimo coeficiente de Fourier de la m-ésima órbita de Bohr. Esta cantidad está asociada a la frecuencia $n\omega$ donde $\omega=2\pi/T$ es la frecuencia de la órbita clásica (en radianes) y T es el período orbital clásico. Obsérvese que las frecuencias clásicas de Fourier son múltiplos de un mínimo común múltiplo, que es ( $2\pi$ veces) el período recíproco.
La razón fundamental por la que Heisenberg rechaza esta descripción (muy cercana a la idea original de Bohr, y desarrollada por Kramers y Heisenberg) es el hecho de que estas frecuencias espaciadas enteras $n\omega$ son no se observa en las transiciones atómicas .
las frecuencias que sí se observan son las frecuencias cuánticas, que son la diferencia de energía entre la n-ésima órbita de Bohr y la m-ésima órbita de Bohr. Hay un desajuste fundamental entre la descripción orbital clásica con su torre de frecuencias enteras y la emisión de ondas electromagnéticas observada del átomo, que tiene una colección de frecuencias no enteras completamente diferente.
Las frecuencias cuánticas vienen dadas por $E_n - E_m$ la diferencia de energía de la n-ésima y la m-ésima órbita, que sin embargo se convierten en enteros cuando n y m son grandes. En este límite, llamado límite de correspondencia, $E_n - E_m = {\partial E\over \partial J} (n-m)$ donde la derivada parcial es de la energía clásica con respecto a la variable de acción clásica J.
Así que en el límite de correspondencia, la descripción de la órbita clásica es válida, porque las frecuencias que se observan en las transiciones atómicas coinciden con las frecuencias que se deducirían al transformar de Fourier una órbita clásica aguda.
¿Pero qué pasa con los números cuánticos más pequeños? Aquí Heisenberg hace una suposición radicalmente nueva. Toma las cantidades $X_{nm}$ que son el n-ésimo coeficiente de Fourier de la m-ésima órbita de Bohr, y dice que aparecen en la mecánica cuántica con la frecuencia $E_n - E_m$ , no con la frecuencia $2\pi n \over T$ ¡! Esta idea ya está presente en Bohr en cierta medida, incluso en 1913 Bohr afirma que la transición de la órbita n a la órbita m debe corresponder a la componente clásica de Fourier del movimiento de alguna manera, pero Bohr no desarrolla esta idea completamente, dejándola vaga.
Heisenberg afirma entonces que si X_{nm} son quantum coeficientes de Fourier, entonces es inmediato que su desarrollo temporal debe ser
$$ X_{nm}(t) = e^{i (E_n - E_m) t} X_{nm}(0) $$
Aquí se puede reconocer la ecuación de movimiento de Heisenberg para los elementos de la matriz de X. Esto es requerido por el principio de correspondencia, para que coincida con la frecuencia de los coeficientes clásicos de Fourier para órbitas grandes. También es incompatible con la imagen de las órbitas agudas, porque los elementos de la matriz de X ya no forman torres de espacio entero que puedan utilizarse para reconstruir una órbita clásica periódica. Además, los coeficientes con frecuencias opuestas son conjugados complejos entre sí $X_{mn} = X_{nm}^*$ en la imagen clásica, sería $X_{m,n} = X_{m,-n}^*$ .
Parte de la diferencia es un desplazamiento trivial: el punto clásico n=0 se desplaza a n=m en la descripción matricial, simplemente porque la parte cercana a la diagonal es el movimiento clásico, no la columna 0. Este desplazamiento se expresa mediante la regla de correspondencia que $X^{\mathrm{cl}}_{m,n} = X_{m(m+n)}$ donde el lado izquierdo son los coeficientes clásicos de Fourier, y el lado derecho son los elementos de la matriz cuántica. Pero incluso con este desplazamiento, las relaciones de conjugación están fuera de lugar.
La conjugación compleja en QM refleja a lo largo de la diagonal de la matriz, no refleja la fila horizontal a lo largo de una línea vertical que corre por el centro. Se puede ver cómo surge el límite clásico si se observa el gran m,m+p en la matriz, El reflejo a m+p,m está a p unidades de la diagonal a la izquierda, mientras que la posición original está a p unidades a la derecha. Así que cuando las filas se vuelven continuas y las columnas se mantienen discretas, las relaciones de conjugación compleja reproducen las de la mecánica clásica en los coeficientes de Fourier.
Pero las cosas no están del todo bien, porque lo que está a la izquierda del punto medio en una fila determinada no es el conjugado complejo de la derecha. Esto significa que si tratas de escribir la órbita clásica en función del tiempo, fracasarás, produciendo cantidades complejas que no son periódicas, sino un sinsentido.
Es importante ver la intuición de Heisenberg aquí estaba seguro de que el quantum $X_mn$ es una descripción completa del movimiento cuántico, pero no incluye las órbitas clásicas. Su convicción es que la órbita no formaba parte de la descripción, que era una idea clásica redundante que ya no era útil, y el hecho de que su descripción no permitiera reproducir la órbita era un signo positivo, no una incompletud.
Otras cosas en el periódico
El siguiente paso es derivar la ley de multiplicación. Esto se explica en Wikipedia, pero es bastante obvio a partir de la ley clásica para multiplicar series de Fourier por convolución. El resultado es la multiplicación matricial.
Heisenberg deriva entonces la parte on-diagonal de las relaciones de conmutación canónicas a partir de algunas complicadas reglas de suma de radiación que hizo con Kramers. La derivación en Wikipedia es más elemental, pero utiliza esencialmente los mismos ingredientes, sin depender de las reglas de suma de Kramers-Heisenberg, y sin hacer trucos ad-hoc como diferenciar con respecto a n. La derivación de la relación de conmutación canónica on-diagonal es el principal obstáculo que hace que este documento sea mágico - es difícil de seguir, hay que hacerlo de una manera diferente hoy en día.
¿Por qué la incertidumbre?
El principio de incertidumbre, aunque sólo se formuló explícitamente en 1927, ya está presente en 1925 en gran medida, salvo que no se enuncia en términos de variables complementarias.
Las matrices de Heisenberg sólo permiten reconstruir una órbita difusa, sólo es una órbita periódica clásica en la medida en que las frecuencias son enteras. Así pues, para Heisenberg, las cantidades que son "inciertas" no lo son todavía en un sentido estadístico (eso viene después, tras la interpretación de Born de la función de onda), pero son inciertas en el sentido de que no pueden reconstruirse en un sistema cuántico.
Heisenberg habría dicho que el momento también es incierto, porque la serie de fourier del momento no puede reconstruirse a partir de los elementos de la matriz de P. La energía sería cierta, porque los niveles de energía son precisos en la descripción (ignorando la reacción de retorno de las emisiones del campo EM).
Esto es un artefacto del hecho de que Heisenberg trabajaba en el espacio de frecuencias, por lo que el hamiltoniano era diagonal. En esta imagen, toda cantidad que no conmute con H se consideraría incierta, porque necesariamente tendría elementos matriciales no diagonales que no permiten reconstruir su variación temporal con precisión.
Este concepto de incertidumbre no es el mismo que el de 1927, que llegó después de que los desarrollos posteriores aclararan la noción de estado. En 1925, Heisenberg no estaba seguro de cómo describir el estado, sólo podía describir los análogos del movimiento clásico en las órbitas de Bohr.
Por lo tanto, la noción de borrosidad de la cantidad en el documento de 1925 debe considerarse como una mala definición de la cantidad clásica en función del tiempo, no como una afirmación estadística sobre los valores de la observación de esa cantidad (al menos no todavía).
