Demostrar que si $Q^tQ = I$ y $A = QR$ entonces $\|Ax - b\| = \|Rx - Q^tb\|$

Question

Tengo un final de álgebra lineal mañana y estaba practicando algunas pruebas. Quiero asegurarme de que esta prueba es correcta.

Pruébalo: Si $Q^tQ = I$ y $A = QR$ entonces $\|Ax - b\| = \|Rx - Q^tb\|$

$$\begin{align*} A &= QR\\[0.1cm] Ax &= QRx\\[0.1cm] Ax - b &= QRx - b\\[0.1cm] \qquad Ax - b &= QRx - QQ^tb \quad\text{(since $QQ^t = I$)}\\[0.1cm] Ax - b &= Q(Rx - Q^tb)\\[0.1cm] \|Ax - b\| &= \|Q(Rx - Q^tb)\|\\[0.1cm] \end{align*}$$ Como la transformación ortogonal preserva la longitud, $\|Q(Rx - Q^tb)\| = \|(Rx - Q^tb)\|$ .

Esto completa la prueba:

$\|Ax - b\| = \|Rx - Q^tb\|$

Answer 1

Esta respuesta CW pretende eliminar la pregunta de la cola de las no contestadas.

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Como ya ha señalado copper.hat en los comentarios, tu prueba parece buena. También $QQ^T=I$ se desprende de $Q^TQ=I$ desde $Q$ es una matriz cuadrada (y, por lo tanto, las inversas izquierda y derecha coinciden). Esto fue señalado por el usuario17762 en los comentarios.