¿Alguien me puede dar una comprensión más profunda de la diferenciación implícita?

Question

Yo estoy haciendo el cálculo y quiero ser un ingeniero, así que me gustaría comprender la esencia de la lógica implícita de los diferenciales en lugar de simplemente memorizar el algoritmo. Sí, yo probablemente podría memorizar y obtener un 100% en un examen, pero no significa nada a menos que yo lo entiendo y se puede adquirir un conocimiento práctico de la misma. Yo realmente apreciaría si alguien me puede ilustrar.

Lo entiendo ya:

Entiendo como los derivados de las funciones normales se encuentran por el camino largo... es decir,

$ f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x))}{(x+h)-x} $

Entiendo que la derivada de la ecuación anterior se encuentra cuando nos encontramos con el límite cuando h, que representa la distancia entre los dos puntos, se aproxima a 0.

También entiendo que la regla de la cadena, cociente regla, etc. son sólo los algoritmos que acelerar el proceso de encontrar la derivada. No necesito una prueba de que

Un ejemplo de problema

Cuando hacemos implícito ecuaciones diferenciales tales como esta:

Una escalera es de 8,5 m de largo, apoyado contra una pared, en la parte inferior de la escalera es de 6.0 m de la pared y se desliza lejos de la pared a una velocidad de 2.5 m/s.

$x^2 + y^2 = h^2$ (Teorema de pitágoras) (x es el valor de x, y es el valor de y, h es hypot) Podemos encontrar que y = 6.2 m.

La derivada es $2x\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + 2y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = 2h\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$

Lo que no entiendo: (aunque yo pueda hacer por memorizar el algoritmo)

Implícita es la diferencial... ¿Cómo nos relacionamos todas las condiciones para el cambio en el tiempo? Quiero decir, ¿cómo sabemos que podemos hacer que la ecuación de la derivada respecto a t? Sería posible hacerlas todas con respecto al cambio en x? Si es así por favor demuestran, creo que ayudaría mucho, ya que mi mayor falta de comprensión es cómo saber cuál es el fondo término debe ser para cada término derivado.

Realmente agradezco cualquier ayuda, gracias.

Answer 1

No tratar implícita diferenciación como una idea de que es distinto de "regular" la diferenciación. Así como la regla de la cadena está involucrado en cada derivado, y no es una regla que se aplica únicamente en ciertas situaciones, por ejemplo, $$y=x^2=(x)^2$$ $$ \begin{align} \frac{d}{dx}(y)&=\frac{d}{dx}(x)^2\\ &=2(x)^1\frac{d}{dx}(x)\\ &=2x\cdot 1\\ &=2x \end{align} $$ implícita diferenciación es algo que estás haciendo todo el tiempo, simplemente no lo ven como tal. Por ejemplo, cuando usted diferenciar $y=3x^2+2$, ver como la diferenciación de ambos lados con respecto a el símbolo $x$: $$ \begin{align} \frac{d}{dx}(y)&=\frac{d}{dx}(3x^2+2)\\ &=\frac{d}{dx}(3x^2)+\frac{d}{dx}(2)\\ &=3\frac{d}{dx}(x^2)+0\\ &=3\cdot 2(x)^1\frac{d}{dx}(x)\quad\text{ (via chain rule)}\\ &=6\cdot x\cdot 1\\ &=6x \end{align} $$ Creo que hay dos cosas que ayudan a la comprensión, tanto de los que tratar la diferenciación de una manera simbólica.

1. El primero es darse cuenta de que nada cambia si la ecuación se convierte en, por ejemplo, si cambiamos a $y-3x^2=2$, el mismo proceso de las obras. La diferenciación de ambos lados con respecto a el símbolo $x$ le da: $$ \begin{align} \frac{d}{dx}(y-3x^2)&=\frac{d}{dx}(2)\\ \frac{d}{dx}(y)-\frac{d}{dx}(3x^2)&=\frac{d}{dx}(2)\\ \frac{d}{dx}(y)-6x\frac{d}{dx}(x)&=0\\ \frac{dy}{dx}&=6x \end{align} $$
2. El segundo es el darse cuenta (o tratar) $x$ como simplemente ser un símbolo arbitrario. Que es, creo que de $\dfrac{d}{dx}$$\dfrac{d}{d\square}$. Las operaciones de trabajo por encima de la misma. Acabaríamos con: $$ \frac{d}{d\square}(y)-6x\frac{d}{d\square}(x)=0 $$ Cuando, si $\square =x$ obtenemos (como arriba) $$ \frac{dy}{dx}=6x $$ mientras que si $\square=y$ tenemos $$ \begin{align} \frac{d}{dy}(y)-6x\frac{d}{dy}(x)&=0\\ 1-6x\frac{dx}{dy}&=0\\ \frac{dx}{dy}&=\frac{1}{6x} \end{align} $$ Por último, si $\square=t$, entonces no "cancelación" se produce y obtenemos $$ \frac{d}{dt}(y)-6x\frac{d}{dt}(x)=0 $$

La única otra cosa a recordar es que la regla de la cadena debe ser aplicado a todos los símbolos, como en: $$ \frac{d}{d\square}(y)^2=2(y)^1\frac{d}{d\square}(y) $$

Answer 2

Estamos describiendo un proceso físico que ocurren durante algún tiempo: La escalera se deslice hacia abajo. Por lo tanto, es razonable suponer que las características observables $x,y,h$ dependen del tiempo $t$ e (natura non facit saltas antes de la introducción de la teoría cuántica) que estas dependencias son lisas (continua y diferenciable). Por el físico interpetation es claro que en cada momento $t$, sólo un valor específico de $x$ $y$ $h$ es válido. Por otro lado, no se nos garantiza a priori que para cada una de las $x$ sólo hay un $y$ e una $h$ (la escalera puede pivotar hacia adelante y hacia atrás mientras se cambia su forma en lugar de sólo monótonamente deslizando hacia abajo - bajo tales circunstancias varias $y$-valores que corresponden a una $x$, lo que nos prohibe ver $y$ como una función de la $x$).

Así que una vez que hemos establecido que podemos trabajar con las funciones de $x(t), y(t),h(t)$, $x^2+y^2=h^2$ se convierte en una ecuación de funciones (porque tiene para todos los $t$. Como la derivada de una función que sólo depende de la función y no en la expresión que se utiliza para escribir la función de abajo, nos permite aplicar el operador diferencial $\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}$ a ambos lados. Este es el mismo como complemento el mismo valor a ambos lados de una ecuación o multiplicando ambos lados por el mismo valor.

$$ x(t)^2+y(t)^2=h(t)^2\quad\text{for all }t$$ implica $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left( x(t)^2+y(t)^2\right)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(h(t)^2\right)\quad\text{for all }t.$$ El resto es simplemente la aplicación de las reglas de diferenciación (por ejemplo, la regla de la cadena) para llegar a $$2x(t)\frac{\mathrm dx(t)}{\mathrm dt}+2y(t)\frac{\mathrm dy(t)}{\mathrm dt}=2h(t)\frac{\mathrm dh(t)}{\mathrm dt}\quad\text{for all }t.$$ En este problema específico, además sabemos que $h$ es constante, que es $h'=0$. Esto nos permite resolver para $\frac{\frac{\mathrm dy(t)}{\mathrm dt}}{\frac{\mathrm dx(t)}{\mathrm dt}}$, que es en realidad el mismo que $\frac{\mathrm dy(x)}{\mathrm dx}$ (ingenuamente por la cancelación de los términos, pero que puede ser rigurosa).

Answer 3

Para mí, una de las claves para la comprensión implícita de la diferenciación es que cada variable en el ejemplo (y todos los demás implícita diferenciación de problemas) son todos dependientes de variables (significado de las funciones de otro independiente de la variable). En su particular problema sería el tiempo, $t$, que actúa como variable independiente para cada una de las variables dependientes. El $t$ no es una elección arbitraria, se trata de la aplicación de los tres cantidades ($x, y, h$) como cambiar a lo largo del tiempo (lo que significa que son funciones del tiempo, o dependen en tiempo) en esta específica situación física.

Así que creo que de $x, y, h$ no como variables, pero las funciones de: $x(t), y(t), h(t)$. Ahora son más que la aplicación de la regla de la cadena a la hora de diferenciar de ellos (el algoritmo que ha memorizado).

No estoy seguro de si esto es útil en su entendimiento, pero hacer algunas preguntas de seguimiento en los comentarios y puedo editar o responder en los comentarios.

Answer 4

Dado: dx/dt = 2,5 m/s ; h = 8.5 m ; x = 6.0 m

Debido a que la escalera se supone ser limitada a las superficies - la relación de Pitágoras tiene en cualquier momento dado en el tiempo o en el espacio.

Asumir la escalera no se estira y es rígida por lo que su longitud (hipotenusa) no cambia con el tiempo. dh/dt = 0

Uso de d/dt:

El paso (1) x*dx/dt = -y*dy/dt

El paso (2) hallar y cuando x = 6.0 m y h = 8.5 m;

El paso (3) enchufe de x, y y dx/dt en (1) y resolver dy/dt = -2.4 m/s

Ahora, para responder a su pregunta. Asumir dh/dx = 0, ya que no se estiramiento

d/dx de nuestro restricción geométrica es: 2*x + 2*y*dy/dx = 0

Uso de d/dx:

El paso (1) x = -y*dy/dx ;

El paso (2) vuelva a encontrar y cuando x = 6.0 m y h = 8.5 m y enchufe de x, y en la ecuación anterior para obtener dy/dx = -6/6.2

El paso (3) dy/dt = (dy/dx)*(dx/dt) ;// relación de la definición de dy/dt (regla de la cadena otra vez)

Paso (4) enchufe en dy/dx en (3) y el tapón en dx/dt(dado)

El paso (5) dy/dt = -6/6.2 * 2.5 = -2.4 m/s

Ya que nos dieron una tasa, que se define como m/s sólo tiene sentido aquí para tomar la derivada de w/ correspondiente a la fecha b/c, como se puede ver implica menos pasos, pero se puede resolver de cualquier manera.