Una conjetura de problema relacionado con 4 colectores que merece un nombre. ¿Qué nombre merece?

Question

Hay un viejo problema en 4-colector de la teoría que, hasta donde yo sé, no tienen un nombre asociado con él y realmente merece un nombre.

Deje $M$ ser un suave 4-variedad con frontera. Deje $S$ ser una suavidad incrustado 2-dimensiones de la esfera en $\partial M$. Suponga $S$ no vinculado a un balón en $\partial M$, pero $S$ es nulo homotópica en $M$. Qué $S$ vinculado a un suave 3-bola en $M$? Tal vez usted necesita para reemplazar a $S$ por otro no trivial $S'$ $\partial M$ antes de que usted puede encontrar una 3-bola en $M$ delimitador?

Se podría pensar en esto como el co-dimensión uno analógica a la Dehn del lema de 4-variedades. Por lo general, cuando la gente habla acerca de un Dehn lema de 4 colectores están interesados en la co-dimensión 2 analógica.

¿Este problema / conjetura tiene un nombre? Si no, ¿tiene usted un buen nombre para él? ¿Sabe usted de cualquier lugar en la literatura, donde este problema es investigado?

La parte superior de mi cabeza sólo vagamente relacionadas con cosas que conocemos de la literatura es una 1975 papel de Swarup.

Answer 1

Creo que la conjetura es malo. El siguiente lleva a contraejemplos en la categoría topológica y probablemente también sin problemas: Tomar una cerrada orientada a 4-colector N con infinito cíclico grupo fundamental y quitar un abrir barrio de una generación de círculo. A continuación, obtener una 4-variedad M con el límite de $S^1 \times S^2$ donde sólo los generadores pueden ser representados por incrustado 2-esferas. Si S denota $pt \times S^2$, entonces la siguiente:se

1. S es nulo homotópica en M a través de la dualidad de Poincaré y la secuencia exacta de la pareja.
2. S límites incrustado 3-bola en M si y sólo si N se puede descomponer en $S^1 \times S^3$, conectado suma con un simplemente se conecta el colector.

Hambleton y me encontré con topológico de 4 colectores de N para el cual la intersección que se forma no se extiende a partir de los números enteros, en particular 2 no tiene. Con Friedl y Melvin se demostró más tarde que nuestros ejemplos no tienen una suave estructura. Pero ahora me acuerdo de una discusión con Fintushel y Stern, quien mencionó que ellos construyeron una suave contraejemplo a 2 (y, por tanto, a la conjetura).

Answer 2

En la dimensión 3, tienes el teorema de la esfera, el teorema de Toro, el teorema de anillo y el teorema de disco (que es el teorema de lazo y lema de Dehn juntos).

Por lo tanto, si no necesita la esfera para empotrar y el problema ya tenía una respuesta afirmativa, yo diría el Teorema de la bola.