¿Cómo captura la álgebra de mentira compacidad del grupo de mentira?

Question

Este es un soft que se trate.

Deje $V,\rho$ ser una representación de la mentira álgebra $\mathfrak{so}_3(\mathbb{R})$. Entonces si lo he entendido todo a la derecha, $V$ es necesariamente completamente reducible, porque la representación $$\rho:\mathfrak{so}_3\rightarrow \mathfrak{gl}(V)$$ es la derivada de una representación $$P: G\rightarrow GL(V)$$ donde $G$ es $SO_3$ o su cobertura universal $SU_2$. Porque el último es compacto, existe un $G$invariante en el interior del producto en $V$, obtenido a partir de un arbitrario interior del producto y el promedio es de más de $G$ con respecto a una medida de Haar. Entonces el complemento ortogonal de cualquier $P$-subrepresentation de $V$ también será un $P$-subrepresentation; lo $V$ es completamente reducible, como una representación de la mentira de grupo $G$. Pero un $P$-subrepresentation es también una $\rho$-subrepresentation y viceversa, por lo $V$ también es completamente reducible, como una representación de la mentira álgebra $\mathfrak{so}_3$.

Aquí es lo que me molesta. En mi mente, el hecho de que cualquier representación de la $SO_3$ es completamente reducible, es una consecuencia de la topológico hecho de que su cobertura universal es compacto, como en el párrafo anterior. Pero este mismo hecho se refleja en las representaciones de $\mathfrak{so}_3$, que no tiene ningún topológico diferencias de otras tres dimensiones de la mentira de álgebra. Así que el topológica de la información sobre $SO_3$ deben ser capturados en las puramente algebraica información acerca de $\mathfrak{so}_3$.

¿Cuál es esa información? Y cómo se relaciona con la compacidad?

Disculpas por la suavidad de esta pregunta. Estoy satisfecho, pero no estoy seguro de antemano qué tipo de respuesta me satisface. Cualquier idea que usted tenga para mí son apreciados. Muchas gracias.

Answer 1

Unipotentes grupos nunca son compactos, y claramente la Mentira de álgebra no detecta la compacidad de tori, así que vamos a restringir a semisimple $G$. Por Sylvester ley de la inercia, la Matanza forma en la Mentira de álgebra $\mathfrak{g}$ $G$ puede ser diagonalized con las entradas de la diagonal igual a $1$, $-1$, o $0$. Por Cartan del criterio de la Matanza forma es no degenerado, por lo que no $0$s aparece, y afirmo que el Asesinato formulario es negativa definida (es decir, sólo $-1$s) si y sólo si $G$ es compacto.

Si la Matanza forma es negativa definida, entonces, menos el de la Matanza de la forma es un $G$invariante en el interior del producto en el adjunto representación $\mathfrak{g}$. Esto significa que el mapa de acción $G \to \text{GL}(\mathfrak{g})$, lo que ha finito del núcleo, las tierras en el (compacto) ortogonal grupo de producto interior.

Por el contrario, si $G$ es compacto entonces por un estándar promedio de argumento podemos encontrar un producto interior en el adjunto representación $\mathfrak{g}$ $G$- invariante, y, en particular, $\mathfrak{g}$ actúa sobre él por el sesgo de simetría de las transformaciones, es decir,$\text{ad}(x)^{\top} = -\text{ad}(x)$. Pero ahora para $x \neq 0$ tenemos $$\text{tr}(\text{ad}(x)\text{ad}(x)) = -\text{tr}(\text{ad}(x)^{\top}\text{ad}(x)) < 0.$$

Edit: En la negativa definitiva implica compacto dirección, debo explicar por qué el adjunto representación finito del núcleo, ya que el camino me dijo que podría ser confuso. El núcleo de la adjoint representación es el centro de la $G$, que es discreto, tener trivial Mentira álgebra. Por lo tanto el medico adjunto de la representación es un isogeny en la imagen de $G$, que es un compacto semisimple grupo y por lo tanto ha finito grupo fundamental.

Answer 2

En primer lugar, debo comentar que creo que esta es una gran pregunta, y que puede publicar también en mathoverflow. En segundo lugar, aunque yo tengo una respuesta para yr pregunta, creo que el fenómeno que describe intrigante y estoy interesado en las respuestas. Tercero, sospecho que mi respuesta se encuentra de alguna manera en la respuesta de Justin Campbell, así que tal vez usted puede usar mi respuesta como una ayuda para seguir su.

De todos modos, la situación es la siguiente. Cada compacto Mentira grupos, hasta un número finito de la cubierta, el producto directo de un toro y algunos simple Mentira grupos. Si el toro factor está ausente, es decir, el grupo está cubierto por el producto de la simple grupos, el grupo se llama semisimple. Por ejemplo, $SO(3)$ $SO(n)$ $n>4$ son simples, $SO(4)$ es semisimple (lo que está cubierto 2:1 por $SU(2)\times SU(2)$). El álgebra de la Mentira de un compacto de Lie semisimple grupo se caracteriza por una expresión algebraica de la propiedad llamada "compactness" (sorpresa). Esta es la propiedad de que el Asesinato de la forma, una forma cuadrática en la Mentira de álgebra dado por $tr(ad(x)^2)$, es negativa definida.

¿Qué acerca de un abelian grupo compacto (un toro)? así, la Mentira, el álgebra es abelian, de igual $\mathbb R^n$, por lo que no tiene ninguna posibilidad de grabación de la compacidad. Y de hecho, hay representaciones de un abelian álgebra que no son completamente reducible.

Y así resulta que algebraicaly, lo que es importante para la completa reducibilidad, no es la compacidad, pero la semisimplicity. Cualquier finito dimensionales representación de un algebra semisimple es completamente reducible. Esto puede ser mostrado puramente algebraicaly, pero aquí es un boceto de una prueba que hace uso de la compacidad. Cualquier (real) algebra semisimple $\mathfrak{g}$ puede ser complexified para obtener un complejo algebra semisimple $\mathfrak{g}_{\mathbb C}$. Ahora dentro de $\mathfrak{g}_{\mathbb C}$ uno puede encontrar un compacto de forma real, es decir, un verdadero subalgebra $\mathfrak{k}\subset \mathfrak{g}_{\mathbb C}$ de un pacto semisimple grupo $K$, cuya complejización es $\mathfrak{g}_{\mathbb C}$. Ahora, dada una representación de $\mathfrak{g}$, extender de manera lineal a $\mathfrak{g}_{\mathbb C}$ y restringir a $\mathfrak{k}$. Ahora se descomponen en irreducibles, por la compacidad de $K$. A continuación, esta descomposición se conserva cuando ampliamos de nuevo a $\mathfrak{g}_{\mathbb C}$ y restringir a $\mathfrak{g}$. (Esta prueba se llama el "unitario truco").