Comprender los límites de integración en integración por partes

Question

Mi comprensión de la integración por partes es un poco inestable. En particular, no estoy totalmente seguro de que puedo entender la forma correcta de calcular los límites de integración.

Por ejemplo, la fórmula que tengo es:

$\int_{v_1}^{v_2}{u dv} = (u_2 v_2 - u_1 v_1) - \int_{u_1}^{u_2}{v du}$

Me gustaría ver cómo calcular el $u_1$$u_2$, preferiblemente en un ejemplo completo (que resuelve una integral definida.) Estoy muy interesado en un ejemplo donde los límites de integración del cambio; es decir, $u_1$ $u_2$ son diferentes a los de $v_1$$v_2$, si es posible.

Answer 1

De una manera más precisa la notación es este uno

$$\int_{x_{1}}^{x_{2}}u(x)v^{\prime }(x)dx=\left( u(x_{2})v(x_{2})-u(x_{1})v(x_{2})\right) -\int_{x_{1}}^{x_{2}}u^{\prime }(x)v(x)dx$$

cual es la derivada de la derivada de la regla para el producto

$$(u(x)v(x))^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$$

o

$$u(x)v^{\prime }(x)=(u(x)v(x))^{\prime }-u^{\prime }(x)v(x).$$

Así

$$\begin{eqnarray*} \int_{x_{1}}^{x_{2}}u(x)v^{\prime }(x)dx &=&\int_{x_{1}}^{x_{2}}(u(x)v(x))^{\prime }dx-\int_{x_{1}}^{x_{2}}u^{\prime }(x)v(x)dx \\ &=&\left. (u(x)v(x))\right\vert _{x=x_{1}}^{x=x_{2}}-\int_{x_{1}}^{x_{2}}u(x)v(x)dx \\ &=&\left( u(x_{2})v(x_{2})-u(x_{1})v(x_{2})\right) -\int_{x_{1}}^{x_{2}}u^{\prime }(x)v(x)dx. \end{eqnarray*}.$$

Si usted escribe $dv=v^{\prime }(x)dx$$du=u^{\prime }(x)dx$, se obtiene el la fórmula, pero con $u,v$ como una función de la $x$

$$\int_{v_{1}(x)}^{v_{2}(x)}u(x)dv=\left( u(x_{2})v(x_{2})-u(x_{1})v(x_{2})\right) -\int_{u_{1}(x)}^{u_{2}(x)}v(x)du$$

Ejemplo: Suponga que se quiere evaluar $\int_{x_{1}}^{x_{2}}\log xdx=\int_{x_{1}}^{x_{2}}1\cdot \log xdx$. You can choose $v^{\prime }(x)=1$ y $u(x)=\log x$. A continuación, $v(x)=x$ (omitiendo la constante de integración), y $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$. Por lo tanto

$$\begin{eqnarray*} \int_{x_{1}}^{x_{2}}\log xdx &=&\int_{x_{1}}^{x_{2}}1\cdot \log xdx \\ &=&\left( \log x_{2}\cdot x_{2}-\log x_{1}\cdot x_{1}\right) -\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{1}{x}\cdot xdx \\ &=&\left( \log x_{2}\cdot x_{2}-\log x_{1}\cdot x_{1}\right) -\int_{x_{1}}^{x_{2}}dx \\ &=&\left( \log x_{2}\cdot x_{2}-\log x_{1}\cdot x_{1}\right) -\left( x_{2}-x_{1}\right) \end{eqnarray*}$$

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El mismo ejemplo con la fórmula:

$$u=\log x,v=x,dv=dx,v=x,du=\frac{1}{x}dx$$

$$u_{2}=\log x_{2},u_{1}=\log x_{1},v_{2}=x_{2},v_{1}=x_{1}$$

$$\begin{eqnarray*} \int_{v_{1}}^{v_{2}}udv &=&\left( u_{2}v_{2}-u_{1}v_{2}\right) -\int_{u_{1}}^{u_{2}}vdu \\ \int_{x_{1}}^{x_{2}}\log xdx &=&\left( \log x_{2}\cdot x_{2}-\log x_{1}\cdot x_{1}\right) -\int_{\log x_{1}}^{\log x_{2}}xdu \\ &=&\left( \log x_{2}\cdot x_{2}-\log x_{1}\cdot x_{1}\right) -\int_{x_{1}}^{x_{2}}x\cdot \frac{1}{x}dx \\ &=&\left( \log x_{2}\cdot x_{2}-\log x_{1}\cdot x_{1}\right) -\left( x_{2}-x_{1}\right). \end{eqnarray*}$$

Nota: Los límites de integración, aunque diferentes en términos de $u(x),v(x)$, cuando se expresa en términos de la misma variable $x$ funciones $u(x),v(x)$ son los mismos en ambos lados.

Para una estrategia sobre cómo eligió el $u$ $v$ términos de ver a esta pregunta.

Answer 2

Bien.

$$\int_1^2 \ln x \, dx = [x \ln x]_{x = 1}^2 - \int_1^2 1 \, dx = 2 \ln 2 - 1$$

Un ejemplo de prototipo. Donde $u = \ln x$ y $v = x$.