Categorías $\mathcal{C}$$\mathcal{D}$, y functors $\mathbf{F}\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ y $\mathbf{U}\colon\mathcal{D}\to\mathcal{C}$, $\mathbf{F}$ es la izquierda adjunto de $\mathbf{U}$ si y sólo si para todos los objetos de $C\in\mathcal{C}$ $D\in\mathcal{D}$ hay una natural bijection entre el$\mathcal{C}(C,\mathbf{U}(D))$$\mathcal{D}(\mathbf{F}(C),D)$.
Permítanme usar $\leq$ $\geq$ para la relación entre los reales, y $\preceq, \succeq$ para la relación entre los números enteros.
Para $ceil$ a la izquierda adjunto de la inclusión functor, sería necesario que para todos los números reales $r$ y todos los números enteros $z$, $\lceil r\rceil \preceq z$ si y sólo si $r\leq z$. Esto es, así que usted no tiene un ajunction (esto funciona porque en estas categorías, el conjunto de morfismos IntLE$(a,b)$ está vacía si $a\not\preceq b$, y contiene una única flecha si $a\preceq b$; y de manera similar con RealLE; así se obtiene una natural bijection entre los conjuntos de flechas si y sólo si están vacíos o ambos son los únicos en el mismo tiempo).
Para $floor$ a ser un derecho adjuntos a $incl$, sería necesario que para todos los números reales $r$ y todos los números enteros $z$, $z\preceq \lfloor r\rfloor$ si y sólo si $z\leq r$, que a su vez es cierta; $floor$ es un derecho medico adjunto a la inclusión functor.
Para $ceil$ a ser el derecho de adjunto a la inclusión functor en el doble categorías, necesitaría $z\succeq \lceil r \rceil$ si y sólo si $z\geq r$; y para $floor$ a la izquierda adjunto, usted necesitaría $\lfloor r\rfloor \succeq z$ si y sólo si $r\geq z$. Ambos poseen, por lo que sus afirmaciones 1 a 3 son correctas.
P. S. me Deja segundo de Mariano sugerencia en los comentarios a tener en cuenta en el caso de que el conjunto subyacente functor y el grupo de free functor para pensar la derecha y a la izquierda adjoints. Me encuentro a mí mismo volviendo a los dos cada vez que tengo que recordarme a mí mismo de cómo funcionan las cosas con adjoints, lo que adjoints respeto o no respeto, y sobre todo cuando se piensa acerca de algunas de las otras definiciones equivalentes, en particular en términos de la unidad y de la co-unidad de la contigüidad (que son naturales transformaciones entre la identidad functors y los functors $\mathbf{FU}$$\mathbf{UF}$).
