Referencia pedido: Simetría de Regge "Ángulo-arista" dualidad

Question

Un tetraedro en hiperbólico 3-espacio puede ser definido (hasta isometría) por las medidas de sus ángulos diedros, $(a, b, c, a^\prime, b^\prime, c^\prime)$, con $a$, $b$, $c$ a lo largo de los bordes que se juntan en un vértice, y $a^\prime$, $b^\prime$, $c^\prime$ a lo largo de los respectivos bordes opuestos.

Un Regge simetría genera un nuevo tetraedro, mediante la transformación de los ángulos diedros de la original. Uno de esos simetría tiene este efecto:

$$\left(a,\frac{-b+c+b^\prime+c^\prime}{2},\frac{b-c+b^\prime+c^\prime}{2}, a^\prime, \frac{b+c-b^\prime+c^\prime}{2}, \frac{b+c+b^\prime-c^\prime}{2}\right)$$

(Regge-simétrica tetraedros son interesantes (para mí), porque tienen el mismo volumen. De hecho, cualquiera de los dos Regge-simétrica tetraedros son tijeras congruentes: puede cortar uno en poliedros que se re-ensamblan para formar la otra.)

Yo creo que es (o puede ser) cierto que podemos obtener el mismo resultado mediante la interpretación de la anterior como una transformación de borde longitudes más que de los ángulos diedros.

Un par de episodios de la ardua manipulación de símbolos muestran que esta creencia es consistente con una variedad de propiedades de la dihedrally definido por el Regge simetría, pero antes de profundizar en una épica de verificación ---plagado de muchos un signo/sine/sinh de error--- pensé que sería prudente buscar un puntero a la literatura relevante.

Donde puedo encontrar la confirmación (o refutación) de mi creencia?

Nota: las búsquedas en la Web para "Regge simetría" ---No, de Google, no "reggae simetría"!--- revelan un número de resumen de debates de estas transformaciones se refieren a "$6j$ símbolos" y tal, pero (hasta ahora que he sido capaz de determinar) ninguna de estas discusiones se dirige directamente a la geometría del ángulo de borde de la dualidad. Tal vez se me perdió uno.

Answer 1

Respondiendo a mi propia pregunta para salir de la "sin respuesta" de la cola (después de dieciocho meses!) ...

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La correspondencia de correo electrónico con un matemático en el saber confirma que el resultado de la prescripción de la transformación de los ángulos diedros es equivalente al resultado de aplicar la transformación al borde correspondiente longitudes. También ha confirmado: la verificación, invariablemente, parece implicar un largo, duro simbólico slog.

Algunas notas ...

Deje $(a_\star, b_\star, c_\star, a^\prime_\star, b^\prime_\star, c^\prime_\star)$ ser las longitudes de los bordes de un tetraedro después de una transformación de los ángulos diedros. No es demasiado terriblemente difícil de verificar estas relaciones: $$\begin{align} \overline{b_\star}\overline{b^\prime_\star} + \overline{c_\star}\overline{c^\prime_\star} &= \overline{b}\overline{b^\prime} + \overline{c}\overline{c^\prime} \qquad\qquad \overline{b_\star}\overline{b^\prime_\star} - \overline{c_\star}\overline{c^\prime_\star} = -\ddot{b}\ddot{b^\prime} + \ddot{c}\ddot{c^\prime} \\ \ddot{b_\star}\ddot{b^\prime_\star} + \ddot{c_\star}\ddot{c^\prime_\star} &= \ddot{b}\ddot{b^\prime} + \ddot{c}\ddot{c^\prime} \qquad \qquad \ddot{b_\star}\ddot{b^\prime_\star} - \ddot{c_\star}\ddot{c^\prime_\star} = -\overline{b}\overline{b^\prime} + \overline{c}\overline{c^\prime} \\ \ddot{b_\star}\ddot{c^\prime_\star} + \ddot{c_\star}\ddot{b^\prime_\star} &= \ddot{b}\ddot{c^\prime} + \ddot{c}\ddot{b^\prime} \qquad\qquad \ddot{b_\star}\ddot{c_\star} + \ddot{b^\prime_\star}\ddot{c^\prime_\star} = \phantom{-}\ddot{b}\ddot{c} + \ddot{b^\prime}\ddot{c^\prime} \end{align}$$

donde$\overline{x} := \sinh{x}$$\ddot{x} := \cosh{x}$.

Las dos primeras filas son simétricas en el borde de pares $\{b_\star,b^\prime_\star\}$ $\{c_\star, c^\prime_\star\}$ y no pueden por sí mismas distinguir entre esos valores. A lo mejor, que implica $$ \{2 b_\estrella, 2 b^\prime_\estrellas\} = \pm \left( - b + b^\prime \right) + c + c^\prime \qquad \{2 c_\estrella, 2 c^\prime_\estrellas\} = b + b^\prime \pm \left(- c + c^\prime \right) $$ La tercera fila se rompe algunos simbólico de simetría, y podemos deducir que $b_\star$s '"$\pm$ " coincide con la de $c_\star$ (y eso $b^\prime_\star$'s coincide con $c^\prime_\star$'s).

Para resolver el signo final de la ambigüedad, se puede comprobar que el $b+b_\star = c+c_\star \;(= b^\prime + b^\prime_\star = c^\prime+ c^\prime_\star)$. Uno cómputo ardua estrategia es mostrar que $\tanh(b+b_\star) = \tanh(c+c_\star)$. (Para mí, la focalización $\tanh$ resultó ser menos difícil de lo que se considerar $\sinh$ o $\cosh$.)