Encontrar irreducible pero no la elemento en $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$

Question

Han intentado varios números de la forma $a+b\sqrt{5},\ a,b \in \mathbb{Z}$, pero no puede encontrar el que necesita.

Agradeceria cualquier ayuda.

Actualización: He encontrado que $q=1+\sqrt{5}$ es irreducible. Ahora si demuestro que el 2 no es divisible por $q$ $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ entonces $2\cdot2 = (\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)$ y yo estoy hecho. ¿Puede ser demostrado sin uso de norma?

Última actualización: He escrito la ecuación $(\sqrt{5}+1)(x\sqrt{5}+y)=2$ y han deducido que la ecuación no tiene soluciones del número entero. Gracias a todos los que ayudaron.

Answer 1

Hint: $(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)=4$

Añadido: (después de editar el OP) cuando se trata de mostrar que $\sqrt{5}+1$ no divide $2$, tenga en cuenta %#% $ #%

Answer 2

Sugerencia: la norma mapa es absolutamente crucial aquí. Porque es multiplicativo, tomando normas conserva la estructura multiplicativa y transferencias de divisibilidad problemas de cuadrática número de campos a simple entero de divisibilidad problemas (en un multiplicativo submonoid de $\mathbb Z$). En este caso, la transferencia es fiel, es decir, un elemento de su cuadrática número de anillo es irreducible si su norma es irreductible en el monoid de las normas. Del mismo modo, en muchos casos favorables, una ecuación cuadrática número anillo tiene única factorización de la iff su monoid de normas.

Para mucho más en este punto de vista conceptual ver esta respuesta. Es crucial para entender este punto de vista conceptual con el fin de master (algebraica) de la teoría de números. No hay que conformarse con ad-hoc pruebas cuando mucho más esclarecedor conceptual de las pruebas están fácilmente a su alcance.