Dobles álgebras de Hecke afines y matemáticas corriente

Question

Esto es algo de una respuesta a la pregunta "Kapranov del analogías", donde una conexión entre Cherednik doble afín Hecke álgebras (DAHA) y Geométricas programa de Langlands fue mencionado.

Estoy interesado en escuchar acerca de las conexiones de la doble afín Hecke álgebras, o sus diversas degeneraciones llamados racionales y trigonométricas degenerados DAHA (o simplemente Cherednik álgebras) a otras áreas de las matemáticas. Afín Hecke álgebras de respuestas también son interesantes; una vez le pregunté a un amigo si tenía previsto asistir a una charla sobre DAHA, y se le dijo "nah, eso suena como un poco demasiado afín Hecke álgebra para mi gusto." Como solicita respuestas, voy a compartir mi limitada comprensión en la esperanza de un amable lector va a elaborar:

1. Entiendo que se introdujeron para resolver el llamado Macdonald conjeturas, aunque no sé mucho acerca de esto, y estaría encantado de oír a nadie sus pensamientos.

2. Entiendo que no puede ser definido en términos de una cierta "Dunkl-Opdam" operadores diferenciales, y puede ser pensado como el álgebra de operadores diferenciales en un no-conmutativa de la resolución de $\mathfrak{h}/W$. Me interesaría saber más acerca de este.

3. Entiendo que no tienen una acción por parte de automorfismos de a $\widetilde{SL_2(Z)}$ próximos alternativamente a partir de su conexión con las configuraciones de los puntos de un toro, o a partir de su descripción, a través de los operadores diferenciales. Si alguien tiene otra toma en esta acción, que sería interesante de escuchar.

4. Al parecer, ellos también se refieren a la geometría del programa de Langlands, que es lo que realmente le pide a mi post; ¿alguien puede elaborar sobre esto?

Answer 1

Bueno, la primera cosa a decir es mirar el muy entusiasta y del mundo-que abarca los papeles de Cherednik a sí mismo en DAHA como el centro del mundo matemático (dicen que su 1998 ICM). Voy a mencionar un par de más aspectos geométricos, pero este es un huuuge área..

Hay al menos tres geométricas de las apariencias de DAHA, que se podría clasificar por el número de bucles (como en bucle grupos) que aparecen - dos, uno o cero. (Por CIERTO para los que saben yo principalmente intencionalmente ignorar la diferencia entre DAHA y sus esférica subalgebra.)

Doble bucle de imagen: Ver, por ejemplo, Kapranov del papel arXiv:matemáticas/9812021 (notas para conferencias de su disposición en mi página web) y los relacionados con el arXiv:matemáticas/0012155. La idea intuitiva, muy duro para hacer precisos, es que DAHA es el doble bucle (o 2d en el campo local, tales como F_q((s,t)) ) analógica de lo finito (F_q) y afines (F_q((s)) ) Hecke álgebras. En otras palabras, parece como funciones en doble cosets de la doble bucle de grupo y su "Borel" subalgebra. (Por supuesto, usted necesita decidir lo que "funciona" o más bien "medidas" y lo "Borel" significa..) Esto significa, en particular, los controles principales de la serie tipo representantes de doble bucle de grupos, o la geometría de los módulos de G-paquetes sobre una superficie, miró a cerca de una "bandera" (es decir, un punto en el interior de una curva en el interior de la superficie). El representante de la teoría sobre 2d campos locales que usted tendría que tener para que este sentido se estudió en una serie de documentos de Kazhdan con Gaitsgory (arXiv:matemáticas/0302174, 0406282, 0409543), con Braverman (0510538) y, más recientemente, con Hrushovski (0510133 y 0609115). El último es totalmente impresionante en mi humilde opinión, el uso de las ideas de la lógica para definir definitivamente lo teoría de la medida en tales campos medios.

Solo bucle de imagen: Afín Hecke álgebras de dos presentaciones, la "estándar" (que tiene que ver con resumen Kac-Moody grupos) y la de Bernstein uno (que tienen que ver específicamente con bucle de grupos). Estos dos aparecen en los dos lados de Langlands dualidad (cf por ejemplo, la introducción a el libro de Chriss y Ginzburg). Asimismo, hay una foto de la DAHA que doble a los de arriba "estándar". Este es desarrollado por primera vez en Garland-Grojnowski (arXiv:q-alg/9508019) y más a fondo por el Vasserot arXiv:matemáticas/0207127 y varios papeles de Varagnolo-Vasserot. La idea aquí es que DAHA aparece como el K-grupo coherente de las poleas en G(S)\G(K)/G(O) - el bucle versión de grupo de la Bruhat células en el finito bandera colector (de nuevo ignorando Borels vs parabolics). De nuevo esto es difícil de hacer muy precisa. Esto da, en particular, una imagen geométrica de los representantes de DAHA, análoga a la de la AHA debido a Kazhdan-Lusztig (ver de nuevo a Chriss-Ginzburg).

[EDITAR: nueva encuesta sobre este tema por Varagnolo-Vasserot acaba de aparecer.]

Aquí es donde geométricas Langlands viene en: el anterior interp significa que DAHA es el Hecke álgebra, que actúa sobre las (K-grupos de) coherente con poleas en T^* Bun_G X para cualquier superficie de Riemann X -- es coherente analógica de la habitual de los operadores de Hecke geométrica Langlands. Por lo tanto, si usted categorify DAHA (buscar en las CATEGORÍAS de coherente poleas), se obtiene la Hecke functors para el llamado "límite clásico de Langlands" (cotangente a Bun_G es el límite clásico de diffops en Bun_G).

El Cherednik transformada de Fourier da una identificación entre DAHA G y el doble de grupo de G'. En esta imagen se trata de un isom entre K-grupos coherente de las poleas en Grassmannians de Langlands doble grupos (el categorified versión de este, se conjetura en Bezrukavnikov-Finkelberg-Mirkovic arXiv:matemáticas/0306413). Esta es una parte natural de la clásica límite de Langlands: que se supone que tienen una equivalencia entre coherente poleas en cotangents de Langlands doble Bun_G, y esta es su forma, la identificación de los operadores de Hecke en los dos lados!

En esta imagen DAHA aparece recientemente en la física (desde geométricas Langlands en todas sus variantes), en la obra de Kapustin (arXiv:hep-th/0612119 y con Saulina 0710.2097) como "Wilson-'t Hooft operadores" --- la idea es que en SUSY teoría de gauge hay un completo DAHA de los operadores (con los nombres anteriores). Pasando a la TFT que da Langlands mata a la mitad de ellos - una media diferente en los dos lados de Langlands la dualidad, de ahí la asimetría.. pero en la versión clásica de todos los operadores de sobrevivir, y la SL2Z de eléctrico-magnético/Montonen-Oliva S-dualidad es exactamente el Cherednik SL2Z que mencionas..

Por último (ya que esto se está poniendo muy de largo), el no-bucle de la imagen: este es el que se refiere en 2. a través de Dunkl tipo de operadores. Es decir, DAHA aparece como diferencia de los operadores de H/W (y sus diversas degeneraciones, el Cherednik álgebras, aparecen sustituyendo H por h y la diferencia por la diferencia). De este modo (y no le voy a dar un millón de referencias a documentos de Etingof y muchos otros ya que usted sabe mejor) DAHA es que las simetrías de quantum de muchos sistemas del cuerpo (Calogero-Moser y Ruijsenaars-Schneiders sistemas para ser exactos), y aquí es donde Macdonald polinomios de forma natural aparecen como el quantum de las integrales de movimiento. La única cosa que puedo decir aquí es señalar algunas impresionante el trabajo reciente de Schiffmann y Vasserot arXiv:0905.2555, donde esta imagen también está ligado a la geométrica Langlands.. muy, muy aproximadamente, la idea es que el H/W es en sí mismo (un degenerado versión de una pieza de) de los módulos de G-paquetes, en el caso de una curva elíptica. Por lo tanto el estudio DAHA es esencialmente el estudio de D-módulos o diferencia de los módulos en Bun_G en el género (ver Nevins papel de arXiv:0804.4170 donde tales ideas son desarrollados más). Schiffman-Vasserot mostrar cómo interpretar Macdonald polinomios en términos geométrico de Eisenstein de la serie en el género.. suficiente por ahora.