Problema con las relaciones de congruencia

Question

Mostrar que $97|2^{48}-1$

Hasta ahora he podido usar el pequeño Teorema de Fermat, donde obtuve

$2^{96}≡1\pmod {97}$

Luego reconstruida como

$2^{48}*2^{48}≡1\pmod {97}$

Y quedé atrapado aquí. Estoy seguro de que tengo que

$2^{48}-1≡0 \pmod {97}$

como el resultado final, pero no tengo idea como llegar. Cualquier ayuda sería mucho apreció.

Answer 1

Uno puede computar, o utilizar la teoría un poco. Como de la forma $97$ $8k+1$, se deduce que el $2$ es residuo cuadrático de $97$. Pero entonces $2^{(97-1)/2}\equiv 1 \pmod{97}$.

Answer 2

Una ingenua forma de:

$$2^{48}-1=\left(2^{24}-1\right)\left(2^{24}+1\right)$$

Pero

$$2^{24}+1=\left(2^8\right)^3+1=\left(2^8+1\right)\left(2^{16}-2^8+1\right)$$

$$2^7=128=31\pmod{97}\Longrightarrow 2^8=62\pmod{97}\Longrightarrow $$

$$2^{16}=(2^8)^2=62^2=61\pmod{97}\Longrightarrow$$

$$2^{16}-2^8+1=61-62+1=0\pmod{97}$$

Answer 3

Hay una serie de resultados sobre raíces primitivas módulo primos, pero la forma más sencilla de hacerlo es simplemente encontrar el orden de % mod $2$% #% las posibilidades sólo son divisores de $97.$ Compruebe $96.$ (cálculo fácil) y luego el $2^{12} \equiv 22 \mod 97$ para $2^{24} \equiv -1 \mod 97,$ como desee.

Answer 4

$\rm mod\,\ {97}\!:\ 2\equiv 196\equiv 14^2.\ $, Que $48$' poderes de th,

por lo tanto $\rm\: 2^{48}\equiv\, (14^2)^{48}\equiv 14^{\color{}{96}}\equiv 1\,\ (mod\ 97) \ $ por Fermat poco.

Answer 5

Eres la mitad de derecho que desea llegar a

$$ 2^{48} \equiv 1 \pmod {97}; $$

lo que realmente quiere es

$$ 2^{48} \equiv \pm 1 \pmod {97} $$

Para mostrar esto, necesitamos un poco más, y una contradicción de estilo prueba funciona bien. Supongamos $2^{48} \equiv k \pmod {97}$ pero $2^{96} \equiv 1 \pmod {97}$. Esto implica que $k^2 \equiv 1 \pmod {97}$ a partir de la cual se puede inferir que el $k \equiv \pm 1 \pmod {97}$ mediante la comprobación de los 97 casos o mostrando que desde $k^2 \equiv 1 \pmod {97}$ $k^2-1 = 97n$ algunos $n$, pero desde $k^2-1 = (k+1)(k-1)$ entonces $k+1$ o $k-1$ debe ser divisible por 97 (puesto 97 es primo).