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Question

Me gustaría evaluar la siguiente integral definida:

$$\int_{0}^{1}\frac{\ln{x}\,\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{x(1-x^2)^2}}\stackrel{?}{=}-\frac18\left[\Gamma{\left(\frac13\right)}\right]^3.$$

Preferiblemente, me gustaría ver esta integral resuelto sin el idioma de funciones hipergeométricas. Este es integral es muy similar a la que se plantea en esta pregunta, y la que en esta pregunta. Creo que la clave para los dos integrales es encontrar algún cúbicos transformaciones que convierte la integral de un producto de beta funciones, pero yo seguí corriendo en problemas. Mi esperanza es que, si el más sencillo integral I planteadas anteriormente puede ser resuelto, el método de solución podría ser generalizable (en todo o en parte) hacia las soluciones de una clase más amplia de las integrales de cubo de raíces de polinomios.

Answer 1

Tenemos: $$ I = \frac{1}{4}\int_{0}^{1}z^{-2/3}(1-z)^{-2/3}\log z \,dz$ $ por lo tanto: $$ I =\frac{1}{4}\left. \frac{d}{d\alpha}\left(\int_{0}^{1}z^{-2/3+\alpha}(1-z)^{-2/3}\,dz\right) \right|_{\alpha=0}=\frac{\Gamma(1/3)}{4}\left.\frac{d}{d\alpha}\left(\frac{\Gamma(1/3+\alpha)}{\Gamma(2/3+\alpha)}\right)\right|_{\alpha=0}$ $ y usando la identidad $\Gamma' = \Gamma\cdot\frac{d}{dz}(\log \Gamma)=\Gamma\cdot\psi$ tenemos: $$ \left.\frac{d}{d\alpha}\left(\frac{\Gamma(1/3+\alpha)}{\Gamma(2/3+\alpha)}\right)\right|_{\alpha=0}=\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(2/3)}\left(\psi(1/3)-\psi(2/3)\right) $ $ así: %#% $ de #% y la reclamación se deduce la fórmula de reflexión de la función digamma.

Answer 2

No he sido capaz de deshacerse de funciones hipergeométricas y me disculpo por eso. Lo que un CAS encontrado es que $$\int\frac{\ln{x}\,\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{x(1-x^2)^2}}=\frac{\left(x \left(x^2-1\right)^2\right)^{2/3}}{\left(1-x^2\right)^{4/3}}A(x)$$ where $$Una(x)=\frac{3}{2} \, _2F_1\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3};\frac{4}{3};x^2\right) \log (x)-\frac{9}{4} \, _3F_2\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3};\frac{4}{3},\frac{4}{3};x^2\right)$$ So, $$\int_{0}^{1}\frac{\ln{x}\,\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{x(1-x^2)^2}}=-\frac{\pi ^{3/2} \Gamma \left(\frac{7}{6}\right)}{2^{2/3} \Gamma \left(\frac{2}{3}\right)}=-\frac18\left[\Gamma{\left(\frac13\right)}\right)^3$$