Estoy empezando a tratar de entender el concepto de transporte paralelo de la geometría diferencial y se han topado con un problema. He estado tratando de calcular transporte paralelo en una esfera (incrustado en $\mathbb{R}^3$, con la de Levi-Civita de conexión), a lo largo de un círculo (no necesariamente el ecuador). Sigo recibiendo el resultado de que, en el caso general, después de una rotación completa, el vector de cambios. Mi intuición me dice que esto no puede ser correcto, pero los cálculos dicen lo contrario. Podría alguien ser tan amable como para que me explique cómo funciona?
Respuesta
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Si el círculo está transportando a lo largo no es un gran círculo, entonces usted no debe esperar el transporte paralelo a todo el camino alrededor del círculo a la identidad.
Imaginar una cónica de la superficie que toca el círculo en todas partes. Si se corta hasta el cono, usted puede desenrollar en parte de una superficie plana, pero luego se dará cuenta de que los dos extremos del círculo que cumplen la corte se apuntan en diferentes direcciones después de que el cono está desplegada. Por lo tanto, si se inicia el transporte paralelo de un vector desde el punto de corte todo el camino alrededor del círculo, no punto de int misma dirección relativa al círculo localmente cuando llegue al otro lado de la corte.
(Transporte paralelo en el plano mantiene el vector en realidad paralela en todo momento, y desde el cono es tangente a su círculo esférico en todas partes, el transporte paralelo en el cono está de acuerdo con transporte paralelo en la esfera).
