Resolviendo una ecuación exponencial que involucra a e: $e^x-e^{-x}= \frac {3}{2}$

Question

En un examen anterior, mi profesor tenía la pregunta

\begin {ecuación*} e^x-e^{-x}= \frac {3}{2}. \end {ecuación*}

Intenté tomar el tronco natural de ambos lados para resolverlo, pero evidentemente eso era incorrecto... ¿cómo se empieza a resolver este tipo de problema? Cualquier ayuda o consejo sería muy apreciado. Gracias.

Answer 1

Pista: Mutilar por $e^x$ y se reorganizan para obtener una ecuación cuadrática en $e^x$ .

Answer 2

$$e^x-e^{-x}= \frac {3}{2}$$ Multiplicar por $e^x$ . $${ \left (e^{x} \right )^2}-1= \frac {3e^x}{2}$$ Deje que $u=e^x$ $$u^2- \frac {3u}{2}-1=0$$ $$2u^2-3u-2=0$$ Ahora resuelve para $u$ y volver a sustituir en $u=e^x$ . Considere sólo soluciones positivas para $ u$ .

Answer 3

Esto es lo mismo que resolver $$2 \sinh x= \frac 32$$ así que podrías usar la fórmula logarítmica para $ \operatorname {arsinh} x$ .

Answer 4

Tu ecuación puede ser reescrita como

$e^x- \frac {1}{e^x}= \frac {3}{2}$

$e^{2x}-1= \frac {3}{2} \times e^x$

$2e^{2x}-2=3e^x$

Ahora considera,

$e^x=y$

entonces,

$2y^2-3y-2=0$

$2y^2-4y+y-2=0$

$2y(y-2)+1(y-2)=0$

Dándote,

$y=- \frac {1}{2}$ o $y=2$

Eso hace,

$e^x=2$

¡Voila!