Demostrar que $\lim_n \int_{\Bbb R} \frac{\sin(n^2 x^5)}{n^2 x^4} \chi_{(0,n]} d\lambda(x) = 0$

Question

Pruébalo:

$$\lim_n \int_{\Bbb R} \frac{\sin(n^2 x^5)}{n^2 x^4} \chi_{(0,n]} d\lambda(x) = 0$$

Soy autodidacta en estas cosas y me gustaría comprobar si he hecho las cosas bien. Aquí está mi trabajo:

Llame a $f_n(x)$ el integrando. Tenemos:

$$\left| f_n(x) \right| = \left| \frac{\sin(n^2 x^5)}{n^2 x^4}\chi_{(0,1]} + \frac{\sin(n^2 x^5)}{n^2 x^4}\chi_{(1,n]}\right| \le \frac{n^2 x^5}{n^2x^4} \chi_{(0,1]} + \frac{1}{n^2 x^4} \chi_{(1,n]} \\ \le x \chi_{(0,1]} + \frac1{x^4} \chi_{(1,n]} \le x \chi_{[0,1]} + \frac{1}{x^4}\chi_{[1,\infty)} := g(x)$$

para todos $n \ge 1$ y $x \in \Bbb R$ .

Tenga en cuenta que $(f_n)$ es una secuencia de funciones medibles, y converge puntualmente a $0$ .

La función $x \mapsto x$ es integrable por Riemann en $[0,1]$ por lo que es Lebesgue-integrable y las integrales coinciden.

También, $x \mapsto 1/x^4$ es integrable por Riemann en cada compacta $[1,a]$ con $a > 1$ y su $\int_1^{\infty}$ es absolutamente convergente, por lo que es integrable en Lebesgue y las integrales coinciden.

Entonces,

$$\int_{\Bbb R} g d\lambda = \int_0^1 x dx + \int_1^{\infty} \frac{dx}{x^4} < \infty$$

Por lo tanto, $g \in L^1$ . Por lo tanto, por LDCT,

$$\lim_n \int_{\Bbb R} f_n d\lambda = \int_{\Bbb R} \lim_n f_n d\lambda = 0$$

Answer 1

Tu solución con el teorema de convergencia dominada es buena.

Como alternativa, se puede utilizar el hecho de que $|\sin(t)|\leqslant \min\{1,t\}$ para cada uno de los valores no negativos $t$ tenemos para cada $\delta$ : $$\left|\int_{\Bbb R} \frac{\sin\left(n^2 x^5\right)}{n^2 x^4} \chi_{(0,n]} \mathrm d\lambda(x)\right|\leqslant \int_{[0,\delta]}x \mathrm d\lambda(x)+\frac 1{n^2}\int_{[\delta,+\infty)}\frac 1{x^4}\mathrm d\lambda(x)=\frac{\delta^2}2+\frac{3}{n^2\delta^3}.$$ Esto es suficiente para concluir el resultado deseado. Al optimizar en $\delta$ podemos ver que la convergencia es (al menos) de orden $n^{-2/5}$ .