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Question

$$ \int {1\over1-\sin 2 x} dx = \int {1\over \sin^2 x-2\sin x\cos x + \cos^2x} dx = \int {1\over (\sin x-\cos x) ^ 2} dx $

Desde aquí tengo dos respuestas diferentes, dependiendo de si factor $\sin x$ o $\cos x$. Factoring $\sin x$, esta es la correcta según WolframAlpha:

$$=\int {1\over [\sin x(1-{\cos x\over \sin x})]^2}dx=\int {1\over \sin^2x(1-{\cos x\over \sin x})^2}dx = \int {1\over(1-\cot x)^2}d(1-\cot x)$$ $$={1\over \cot x-1}+C$$

Pero cuando factor $\cos x$:

$$=\int {1\over [\cos x({\sin x\over \cos x}-1)]^2}dx=\int {1\over \cos^2x({\sin x\over \cos x}-1)^2}dx = \int {1\over(\tan x-1)^2}d(\tan x-1)$$ $$={1\over 1-\tan x}+C$$

Apuesto a que es sólo un estúpido error que me falta, no puedo averiguar.

Gracias.

Answer 1

No hay ningún error en lo que has hecho. De hecho,\begin{equation}\frac{1}{\cot x-1}=\frac{1}{\frac{1}{\tan x}-1}=\frac{\tan x}{1-\tan x}=\frac{1}{1-\tan x}-1 \end{equation} simplemente tomar $C_2-C_1=-1$ en sus constantes de integración

Answer 2

Son ambos correctos. Para ver esto, se puede tomar simplemente el derivado de cada primitiva para recuperar su original integral. Esto demuestra que ambas primitivas que encontrado son iguales, hasta una constante.

$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cot x - 1}\right) = \frac{1}{\left(\cos x - \sin x\right)^2}$$ $$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\tan x - 1}\right) = \frac{1}{\left(\cos x - \sin x\right)^2}$$

\begin{eqnarray*} \left(\cos x - \sin x\right)^2 &=& (\cos x - \sin x)(\cos x - \sin x)\\ &=& \cos^2 x - 2 \sin x \cos x + \sin^2 x\\ &=& 1 - \sin 2x \end{eqnarray *}

En su primera línea, usted tiene\begin{eqnarray*} (\sin x - \cos x)^2 &=& (\sin x - \cos x)(\sin x - \cos x)\\ &=& \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x\\ &=& 1-\sin 2x \end{eqnarray *}

Como se puede ver, estos son equivalentes.

Answer 3

Qué tal hacer un u-sub 2 x = t y luego multpliy superior e inferior con conjugado 1 + sint, resultará muy fácil entonces.

Answer 4

No hay ningún error en el paso donde hace $(sinx-cosx)^2$ puede ser $(cosx-sinx)^2$ so hay dos respuesta posible. Y un punto más es la función que nosotros tratamos de integrar siempre un resultado de la diferenciación de cualquier función. Si cualquier integración da dos respuestas significa si diferenciamos esas respuestas que nos darán la misma función integradora.

Diferenciación de la integración de la función dan la misma función.