Involuciones en anillos comutativos

Question

Me pareció que todos los anillos conmutativos con la involución que conozco son los siguientes:

• número complejo con complejo de conjugación (además de construcciones similares basados en racionales y sus extensiones),
• cualquier anillo conmutativo con trivial involución,
• suma directa de dos copias de un anillo con la involución * (no es necesario, no trivial) con la involución que envía par $(a,b)$$(b^*,a^*)$,
• suma directa de involutivas anillos con la involución actuando componente sabio.

Mi pregunta es: ¿hay alguna otra anillos conmutativos con la involución?

Answer 1

Deje $X$ ser un conjunto y deje $\sigma:X\to X$ ser una involución. Si $k$ es un anillo, entonces no es un inducida por la involución $\sigma:R\to R$ en el ring $R=k[X]$ de todas las funciones $X\to k$.

Mediante la restricción de esta situación general, consigue nuevos ejemplos. Por ejemplo,

• si $X$ es un espacio topológico, $\sigma:X\to X$ es continua, $k=\mathbb C$ $R=C(X)$ es el anillo de todas las funciones reales continuas en $X$;

• si $X$ es un colector, $\sigma:X\to X$ es diferenciable, y $R=C^\infty(X)$ es el anillo de todos los lisas funciones reales en $X$;

• &c.

En un sentido, todos los ejemplos son de esta naturaleza. De hecho, vamos a $R$ ser una pers. anillo y deje $\sigma:R\to R$ ser una involución. Si $X=\mathrm{Spec}\;R$ es el espectro de $R$, entonces no es un inducido de morfismos $\sigma^*:X\to X$ y recuperar la acción de $\sigma$ $R$ observando la acción de la $\sigma^*$ sobre el ring $\mathscr{O}_X$ de las secciones de la estructura de la gavilla en $X$.

Answer 2

La situación depende de si $R$ contiene un valor distinto de cero soluciones de $x+x=0$ (2-torsión) y si $x+x=y$ puede ser resuelto por todos los $y$ (2-divisibilidad).

Si $R$ admite división por $2$, entonces hay una descomposición aditiva $x =\frac{x + \sigma(x)}{2} + \frac{x - \sigma(x)}{2}$ como una suma de invariantes y anti-partes invariables con respecto a la involución. $R$ es una extensión de su invariante sub-anillo $R_0$ por un conjunto de elementos sobre los cuales la involución actúa como $-1$.

De lo contrario, considere la posibilidad de $\Bbb{Z}[X,Y]$ $\Bbb{Z}/2[X,Y]$ cada uno con la involución intercambio de $X$$Y$. En el primer caso hay subrings simétrica y anti-simétrica funciones pero las sumas de aquellos que no se llene todo el anillo. En el segundo caso no hay canónica de la proyección en el invariante de la sub-anillo.

Answer 3

Para $X$ cualquier espacio topológico, el anillo de funciones continuas $X \to R$ donde $R$ es cualquier topológico anillo conmutativo con la involución es en sí mismo un anillo conmutativo con pointwise involución (considerar, en particular, el caso de $R = \mathbb{C}$ con la topología usual). Para $X$ compacto Hausdorff tenemos ejemplos importantes de $C^{\ast}$-álgebras.

Tenga en cuenta también que si $k$ es cualquier campo, en cualquier extensión cuadrática $L/k$ es un anillo conmutativo con la involución donde la involución es la única que no sea trivial automorphism de $L$ $k$- extensión.

Realmente hay muchos ejemplos y muchas maneras de construir ejemplos.