Que $\displaystyle u=\frac{1}{2}\log(x^2+y^2)$ es armónico y encontrar su función armónica conjugada

Question

Que $\displaystyle u=\frac{1}{2}\log(x^2+y^2)$ es armónico y encontrar su función armónica conjugada.

Hice la primera parte para ver que $\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$

Ahora, encontrar v:

$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x}{x^2+y^2}=\frac{\partial v}{\partial y}$

Obtener $\displaystyle v=\tan^{-1}(\frac{y}{x})$

$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{y}{x^2+y^2}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

Aquí me sale $\displaystyle v=-\tan^{-1}(\frac{x}{y})$

¿Lo que hizo que mal aquí?

Answer 1

Lo tienes en el primer paso es correcto. Es decir, cuando integramos $$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{x}{x^2+y^2}=\frac{\frac{1}{x}}{1+(\frac{y}{x})^2} =\frac{\frac{\partial}{\partial y}(\frac{y}{x})}{1+(\frac{y}{x})^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\bronceado^{-1}(\frac{y}{x})\right),$$ obtenemos $v=\tan^{-1}(\frac{y}{x})$. Tenga en cuenta que en el segundo paso: $$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{y}{x^2+y^2}=\frac{-\frac{y}{x^2}}{1+(\frac{y}{x})^2} =\frac{\frac{\partial}{\partial x}(\frac{y}{x})}{1+(\frac{y}{x})^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\bronceado^{-1}(\frac{y}{x})\right).$$ Integrar, de nuevo obtenemos $v=\tan^{-1}(\frac{y}{x})$.