Me gustaría calcular:
\begin{equation*}g(K, T) = \displaystyle \sum_{k=1}^{K} \sum_{t = 1}^{T} \int_{0}^{1} \left(1 - z^k\right)^t \, dz. \end{ecuación *}
Si no existe ninguna solución de forma cerrada, me gustaría encontrar un límite superior apretado. Trivial que tenemos
\begin{equation*} g(K,T) = O(KT), \end{ecuación *}
pero podemos hacer algo mejor que esto. Se puede demostrar
\begin{equation*}\displaystyle \int_{0}^{1} \left(1 - z^k\right)^t \, dz < \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{1}{t}\right)^\frac{1}{k}, \end{ecuación *}
y más
\begin{equation*} 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{t}} \le \frac{1}{t}, \end{ecuación *}
que se pueden combinar y tocó el violín con proporcionar el mejor límite,
\begin{equation*} g(K,T) = O(KT^{1-\frac{1}{K}}). \end{ecuación *}
¿Podemos hacer algo mejor que esto?
