¿El límite de $f$ o el límite de $f(x)$?

Question

He leído antes que $f$ denota la función $f$ y $f(x)$ denota el valor de la función $f$ $x$. ¿Qué es derecho? Para decir que el límite de $f$ $x$ tiende a $a$ es $L$ o para decir que el límite de $f(x)$ $x$ tiende a $a$ $L$? Dicho de otro modo, es el límite de la función en $x$ o el límite del valor de la función en $x$? Si ambas son correctas, ¿cuál es más precisa?

Que vas a entender lo que quiero decir. Gracias de antemano.

Answer 1

Spivak, en el capítulo 5 de Cálculo, dice esto:

La ecuación \begin{equation*} \lim_{x\to a} f(x) = \ell \end{ecuación*} tiene exactamente el mismo significado que la frase \begin{equation*} f \text{ approaches } \ell \text{ near } a.\end{ecuación*}

Él va a decir:

Aviso de que nuestra nueva notación introduce un extra, totalmente irrelevante letra de $x$, que podría ser sustituido por $t$,$y$, o cualquier otra letra que ya no aparecen -- los símbolos \begin{equation*} \lim_{x\to a} f(x),\quad \lim_{t\to a} f(t), \quad \lim_{y\to a} f(y),\end{ecuación*} todos los denotar precisamente el mismo número, que depende de la $f$ $a$ , y no tiene nada que ver con $x,t$ o $y$ (estas letras, en realidad, no significan nada en absoluto). Una más lógico el símbolo ser algo como $\lim_a f$, pero esta notación, a pesar de su brevedad, es tan exasperante rígido que casi nadie ha intentado en serio el uso de la misma. La notación $\lim_{x \to a} f(x)$ es mucho más útil porque una función $f$ a menudo no tiene nombre simple, aunque pueda de ser posible expresar $f(x)$ por una simple fórmula que involucra $x$.

Answer 2

Cualquiera sea la forma de hablar es común. Usted puede hablar acerca de

• El límite de la función $f$ como su argumento tiende a $42$.

o

• El límite de la expresión $3x^2+5x+\frac{\log x}{x}$ $x$ tiende a $42$.

En el segundo caso, se puede, en particular, considerar la expresión $f(x)$.

Ninguno de estos es realmente el más correcto o preciso que el otro. En matemáticas está generalmente se supone pasar de ida y vuelta sin esfuerzo entre una "función" y una "expresión con una variable libre", y el uso de la perspectiva que tiene más sentido en un contexto dado.

En el caso de los límites, existe la peculiaridad de que la definición formal de límites generalmente se expresan en términos de funciones (como una expresión generalmente no se considera una "cosa" en sí mismo que se ve bien para cuantificar una definición más, y una función es exactamente cómo hacemos las maletas una expresión como una cosa, cuando necesitamos), mientras que la costumbre de la notación para el hormigón límites siempre funciona en expresiones -- si usted escribe $\lim_{x\to 42} 3x^2+5x+\frac{\log x}{x}$ no hay nombre de la función en la vista, pero el límite está perfectamente bien, sin embargo.

Sin embargo, no dicen "el límite de$f$$x\to 42$. Si desea que el nombre de la variable independiente, es necesario hablar sobre el límite de una expresión en lugar de una función.

Answer 3

Por definición uno escribe $\lim \limits_{x\to a}\left(f(x)\right)=L$, si, y sólo si, existe $L\in \Bbb R$ tal que $$\forall \varepsilon>0\exists \delta >0\forall x\in D_f \left(|x-a|<\delta\implies |f(x)-L|<\varepsilon\right).$$

Este ($\lim \limits_{x\to a}\left(f(x)\right)=L$) es simplemente una notación para transmitir la lo que está arriba, se trata de una abreviatura. De hecho no es ni siquiera una adecuada igualdad, es sólo una cadena de símbolos que pasa a tener el símbolo de $=$ en el medio. Uno sólo se gana el derecho a definir $\lim \limits_{x\to a}\left(f(x)\right)$ igual algo después de probar que un $L$ en las condiciones anteriores, debe ser único.

Si desea mencionar el límite por vía oral, creo que tiene más sentido decir 'límite de $f$ $x$ enfoques $a$' (con la asunción implícita de que $f$ es una función de la variable $x$) que el límite de $f$ $x$ $x$ enfoques $a$', porque, como he dicho, $\lim \limits_{x\to a}\left(f(x)\right)=L$ es sólo una notación y no tiene sentido por sí mismo, es poco para lo que he dicho anteriormente.

Answer 4

En este caso no importa demasiado, incluso en el caso de que $f$ es una función de varias variables, etc. es difícil conseguir demasiado confundido.

La declaración de que $f(x)$ denota un valor en el rango de $f$, y no una función, está lejos de ser una convención universal. Por ejemplo

$$\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)$$ es particularmente confuso: es el derivado de la $f$ con respecto al primer factor, evaluado en $(x,y)$? La derivada de la función $[f(x,y)](x)$ con respecto al $x$? Lo que si se vio en lugar de $$\frac{\partial}{\partial x}f(x^2,y)$$ o $$\frac{\partial}{\partial x}f(\cdot, x)?$$