¿Los círculos dividen el plano en más regiones que las líneas?

Question

En este post se menciona que $n$ Las líneas rectas pueden dividir el plano en un número máximo de $(n^{2}+n+2)/2$ diferentes regiones.

¿Qué ocurre si utilizamos círculos en lugar de líneas? Es decir, ¿cuál es el número máximo de regiones en las que n círculos pueden dividir el plano?

Después de algunas exploraciones me parece que para obtener la máxima división los círculos deben intersecarse por pares, sin que dos de ellos sean tangentes, sin que ninguno esté dentro de otro y sin que tres de ellos sean concurrentes (Es decir, sin que tres se crucen en un punto).

La respuesta me parece afirmativa, ya que el número que obtengo es $n^{2}-n+2$ diferentes regiones. ¿Es eso correcto?

Answer 1

Para la pregunta planteada en el título, la respuesta es sí, si se interpreta más como "más o igual que" (también conocido como "en el sentido francés").

Prueba: dejemos que $\Lambda$ sea una colección de líneas, y sea $P$ sea el plano extendido dos (la esfera de Riemann). Sea $P_1$ sea un componente conexo de $P\setminus \Lambda$ . Sea $C$ sea un pequeño círculo totalmente contenido en $P_1$ . Sea $\Phi$ sea el inversión conformada de $P$ sobre $C$ . Entonces, por propiedades elementales de la inversión conforme, $\Phi(\Lambda)$ es ahora una colección de círculos en $P$ . El número de componentes conectados de $P\setminus \Phi(\Lambda)$ es el mismo que el número de componentes conectados de $P\setminus \Lambda$ desde $\Phi$ es continua. Así que esto demuestra que para cualquier colección de líneas, se puede encontrar una colección de círculos que divide el plano en al menos el mismo número de regiones .

Observación: a través de la inversión conforme, todos los círculos en $\Phi(\Lambda)$ así construidos pasan por el centro del círculo $C$ . Se puede imaginar que perturbando un poco uno de los círculos para reducir la concurrencia, se puede aumentar el número de regiones.

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Otra forma de pensar en ello es que las líneas pueden aproximarse mediante círculos muy, muy grandes. Así, partiendo de una configuración de líneas, se pueden sustituir las líneas por círculos realmente grandes. Entonces, en la región finita "cercana" a donde se encuentran todas las intersecciones, el número de regiones formadas ya es el mismo que el de las líneas. Pero cuando los círculos se "curvan hacia atrás", pueden producirse intersecciones adicionales y eso sólo puede introducir "nuevas" regiones.

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Por último, Sí, el número que ha obtenido es correcto . Ver también esta entrada de la OEIS .

Answer 2

Se puede deducir la fórmula $n^{2}-n+2$ como sigue: Comenzar con $m$ círculos ya dibujados en el plano sin que dos de ellos sean tangentes, sin que ninguno esté dentro de otro y sin que tres de ellos sean concurrentes. A continuación, dibuja el $m+1$ círculo $C$ para que no viole las propiedades indicadas anteriormente y ver cómo ayuda a aumentar el número de regiones. De hecho, podemos ver que $C$ se cruza con cada uno de los restantes $m$ círculos en dos puntos. Por lo tanto, $C$ se divide en $2m$ arcos, cada uno de los cuales divide en dos una región formada previamente por el primer $m$ círculos. Pero un círculo divide el plano en dos regiones, y así podemos contar paso a paso ( $m=1,2,\cdots, n$ ) el número total de regiones obatadas después de dibujar el $n$ -en el círculo. Es decir, $$2+2(2-1)+2(3-1)+2(4-1)+\cdots+2(n-1)=n^{2}-n+2$$

Desde $n^{2}-n+2\ge (n^{2}+n+2)/2$ para $n\ge 1$ la respuesta es afirmativa.

ADDENDUM: Una forma fácil de ver que la respuesta a mi pregunta es afirmativa sin encontrar una fórmula puede ser la siguiente: Supongamos que $l_{n}$ es el número máximo de regiones en las que el plano $\mathbb{R}^{2}$ se puede dividir por $n$ líneas, y que $c_{n}$ es el número máximo de regiones en que se puede dividir el plano por $n$ círculos.

Ahora, en la compactación de un punto $\mathbb{R}^{2}\cup\{\infty\}$ del plano, denotado por $S$ (una esfera), el $n$ las líneas se convierten en círculos que se cruzan todos en el punto $\infty$ . Por lo tanto, estos círculos dividen $S$ en al menos $l_{n}$ regiones. Ahora, si elegimos un punto $p$ en el complemento en $S$ de los círculos y tomar la proyección estereográfica a través de $p$ que se proyecta sobre el plano tangente a $S$ en las antípodas de $p$ obtenemos un plano que está dividido por $n$ círculos en al menos $l_{n}$ regiones. Por lo tanto, $l_{n}\le c_{n}$ .

Además, de ello se desprende que el plano y la esfera tienen igual número máximo de regiones en las que se pueden dividir mediante círculos.

Answer 3

Un enfoque cualitativo:

Considere un grupo de $n$ líneas que dividen el plano en un número máximo de regiones. Las intersecciones entre las líneas caen todas dentro de una zona acotada del plano. Ahora sustituye cada una de las líneas por un círculo enorme, tan grande que dentro del área delimitada de las intersecciones se desvía de una línea recta en mucho menos que la distancia entre dos puntos de intersección.

Entonces todavía tienes todas las regiones que tenías con líneas. Sin embargo, si hay al menos tres círculos, usted también obtener algunas regiones nuevas que están lejos de la zona central delimitada.

Answer 4

Por una simple inducción se demuestra que si cada par entre $n$ círculos se cruzan transversalmente, sin que ninguno de los tres círculos sea concurrente, entonces dividen la llanura en $$1+1+2+4+6+\cdots+2(n-1)=1+[n>0]+\sum_{i=1}^{n-1}2i=1+[n>0]+n(n-1)$$ diferentes regiones; esto es efectivamente igual a la fórmula $n^2-n+2$ lo has adivinado, excepto por $n=0$ donde da (correctamente) $1$ en lugar de $2$ . En efecto, para $n=0$ uno tiene una sola región, al añadir un primer círculo se añade una región, y cada número de círculo siguiente $i$ corta cada uno de los anteriores $i-1$ círculos dos veces, por lo que tiene $2(i-1)$ puntos de intesección, y entre esos puntos pasa por $2(i-1)$ regiones anteriores, cada una de las cuales corta en $2$ regiones, añadiendo $2(i-1)$ regiones al total.

Por el contrario, trabajando con líneas en lugar de círculos, cada línea después de la primera se cruza con las líneas anteriores sólo una vez, más un paso al infinito, por lo que el número de línea $i$ añade $i$ nuevas regiones. Esto es débilmente menor que el $2(i-1)$ regiones añadidas en el caso del círculo, y estrictamente menos para $i\geq3$ . lo que explica la desigualdad por la que preguntabas.

Es fácil ver que la propiedad de intesección transversal se puede alcanzar: basta con tomar todos los círculos del mismo radio $r$ y fijar un punto $P$ que se encuentra en el interior de todos los círculos (sus centros se encuentran en el interior $D$ del disco alrededor de $P$ con radio $r$ ). Además, dado un conjunto finito de círculos, el conjunto de puntos que se excluye como centro del $n$ -el círculo por la condición de "no concurrencia" es la unión de un número finito de círculos, que no se agota $D$ por lo que siempre es posible elegir un círculo siguiente que satisfaga las condiciones dadas. (Para la afirmación de la "unión de círculos", observe que tres círculos de este tipo son concurrentes si y sólo si sus centros se encuentran en un círculo de radio $r$ .)